§ 8. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные величины.

Переменная ἁ называется бесконечно малой в данном процессе, если она при этом стремиться к нулю: lim ἁ=0. Так, например, функция y=f(x) в примере 1 есть бесконечно малая величина при x→0, а функция y=f(x) в примере 3 также бесконечно малая величина x→∞.

Переменная величина β называется бесконечно большой в данном процессе, если её предел равен бесконечности: lim β=∞.

Функция y=f(x) в примере 4 есть бесконечно функция при x→a. Отметим важное свойство бесконечно большой функции: величина, обратная ей, есть бесконечно малая.

Так, , следовательно, есть бесконечно малая величина при x→∞.

Верно и обратное утверждение: величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая, т.е.

(Итак, та же величина - становится бесконечно большой при x→∞).

Введём ещё одно важное понятие. Две бесконечно малые величины ἁ₁ и ἁ₂ называются эквивалентными, если ведут себя «одинаково» в данном процессе, т.е. .

Записывается это так: ἁ_1~ ἁ₂.

§9. Основные свойства пределов. Первый и второй замечательные пределы.

Еще в школьном курсе математики были получены основные свойства пределов:

1. Предел постоянной величины x=с есть само число с.

Lim c = c.

2. Пусть x, y, …, z - конечное число переменных величин, каждая из которых имеет конечный предел. Тогда верны следующие утверждения:

а) их алгебраическая сумма (т.е. сумма или разность) также имеет предел u .

lim (x ± y ± … ± z) = limx ± limy ± … ± lim z;

б) их произведение также имеет предел

lim (x ^. y ^. … z) = limx ^. limy ^. … ^. limz.

3. Если существуют пределы переменных величин u и ф, причем limф≠0,

4. То существует предел частного этих переменных

lim =

Доказательство этих свойств см.[1], стр. 43 – 44 (они носят название, соответственно, теоремы о предела суммы, разности, произведения и частного.). Все свойства пределов справедливы и для случая, когда в качестве переменных величин берутся функции. Свойства пределов облегчают их вычисление.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найди предел функции

y = при x → 1

Решение. Воспользуемся свойствами пределов и найдем отдельно пределы числителя и знаменателя:

5 ^. 1 – 4 ^. 1 – 2 = 3

(3x² + x – 3) = 3x² + x - 3 = 3 ^. 1 + 1 – 3 = 1

Применяя свойство 3, получим предел дроби:

y = = = 3

В этом примере непосредственное применение свойств пределов сразу привело нас к цели – мы получили конечный предел.

Однако на практике такие случаи встречаются крайне редко, а потому, прежде чем применять теоремы о пределах, приходится тождественно преобразовывать данную функцию. Покажем, как это делается на конкретных примерах.

Примеры вычисления предела функции.

1. lim_x→2(5x³3-6x²+x-5)=5*2³-6*2²+2-5=5*8-24-3=40-27=13;

2. lim_x→2

3. lim_x→2

4. lim_x→0 lim_x→0 lim_x→0

5. 8x³-1 разложим на множители по формуле a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

4x²-1 по формуле a²-b²=(a-b)(a+b)

8x³-1=(2x-1)(4x²+2x+1);

4x²-1=(2x-1)(2x+1);