§ 6. Предел числовой последовательности
Рассмотрим последовательность { } и введем для нее понятие предела.
Пусть номер n
неограниченно
увеличивается, т.е. ему придаются сколь
угодно большие значения. Это записывается
в виде n
→∞
и читается:
«n
стремиться
к бесконечности». При этом может
оказаться, что соответствующие значения
последовательности {
}
неограниченно приближаются к некоторому
числу a.
Тогда это число a
называется
пределом
последовательности {
}
записывается как xn→a
при
n
→∞
или
в виде символического равенства
xn=a.
Прежде чем дать точное определение продела последовательности, напомним понятие абсолютной величины (модуля) числа:
|х|={-x,x<0 x,x ≥0
Например,|-5|=5; |3|=3; |-х|=x;
Рассмотрим неравенство вида |х-x0|<a (≤a), где a>0.
Геометрически они означают, что значения переменной величины x попадают в открытую или замкнутую окрестность точки x0 не превосходят a.
|х-x0|<a => x0-a<x<x0+a.
Число a называется пределом последовательности { }, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е>0 найдётся такое натуральное число N(Е), что при всех n>N выполняется неравенство ׀xn-a׀<Е (т.е.для любого выбранного сколь угодно малого положительного числа Е>0 найдётся такой номер n=N ( и соответствующий ему член последовательности xn), что все последующие члены последовательности с номерами n>N, т.е. xN+1, xN+2,…, попадут в Е-окрестность точки a (т.е. их расстояния от точки a будут меньше Е)
Из определения предела следует, что вне Е-окрестности точки a окажется число членов последовательности (может быть только члены x1,, x2, x3,……, xN)
Если последовательность { } имеет конечные предел, то она называется сходящейся, если предела не имеет (либо он равен ∞) то- расходящейся.
Пример 1.
Последовательность, заданная формулой
,
Числами натурального
ряда 1,2,3, … ставит в соответствие
последовательность чисел 0;
;
… .
Если теперь будем неограниченно увеличивать номер n (пишут n→∞), получим бесконечную последовательность чисел.
Пример 2. Формула
задаёт бесконечную последовательность
§
7 Понятие предела функции
Рассмотрев
понятие предела применительно к числовой
последовательности т.е. К функции
натурального аргумента, перейдем к
выяснению аргумента.
(По
Гейне). Если для любой последовательности
значений x:
x1,
x2,
…,Xn,...,
входящих в область определения функции
и сходящихся к а, но отличных от а,
соответствующая последовательность
значения функции F(x):F1(x),F2(x),...,
Fn(x),...
сходится и притом всегда к одному и
тому же числу А, то говорят, что функция
f(x)
стремится к А при х, стремящемся к а, а
число А называют пределом функции f(x)
в точке а, или её предельным значением
в этой точке. (Число А называется пределом
функции f(x)
при x
a,
если из условия
Xn=a(Xn≠
a)
всегда следует равенство
F(Xn)=
A.)
Поскольку
предельная точка а может и не принадлежать
области определения функции F(x),
то функция F(x)
при этом может быть и не определена в
самой точке а.
(По
Кюши). Число А называется пределом
функции F(x)
при x,
стремящемся к а(или в точке а), если для
любого наперед заданного сколь угодно
малого положительного числа e
можно найти такое положительное число
Q,
что для всех значений х, входящих в
область определения функции , отличных
от а(|x-a|>0)
и удовлетворяющих условию |x-a|<Q,
имеет место неравенство |F(x)
-A|<е
(Число А называют пределом функции F(x)
при →
a
, если выполнение неравенства 0<|x-a|<Q
влечет за собой выполнение неравенства
|f(x)
-A|<e,
где e>0
наперёд задано, а q>0
соответствующим образом подобрано по
нему).
Следует
обратить внимание на то, что в определениях
предела функции по Гейне и Кюши не
требуется, чтобы функция f(x)
была определена в точке а. Но в обоих
определениях требуется, чтобы точка а
была предельной для области определения
функции f(x)
и, значит, если некоторая точка не
является таковой, то нельзя и ставить
вопрос о пределе функции в этой точке(
в смысле указанных определений).
