§4. Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

I. Степенная функция: у=х^ἁ, где ἁ- действительное число.

II. Показательная функция: у = а^x, где а - положительное число, не равное единице.

III. Логарифмическая функция: у = log_a х, где а - положительное число, не равное единице.

IV. Тригонометрические функции:

у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х.

V. Обратные тригонометрические функции:

у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х.

Рассмотрим области определения и графики основных элементарных функций.

Степенная функция у = х^ἁ .

1. ἁ = 0, y=const (рис. 6,а).

2. ἁCN , функция определена на всей числовой оси

3. ἁ - целое отрицательное число. Функция определена при всех значениях х кроме нуля (х ≠ 0 ) (см. рис. 6,е).

На рис.6 f,g изображены графики степенных функций при некоторых дробно-рациональных значениях ἁ.

Показательная функция (рис. 7) у = а^х определена для всех х и положительна. При а > 1 она монотонно возрастает, при 0 < а < 1 монотонно убывает.

Логарифмическая функция у = log_a х (рис. 8) определена для всех х > 0. Число а называется основанием логарифма.

При а > 1 функция монотонно возрастает, при 0 < а < 1 - монотонно убывает.

Р

ис. 7.

Замечание.

Особую роль в математическом анализе, теории вероятностей играют показательная и логарифмическая функции с основанием е = 2,71828..., т.е. функции у = е^x и у = log_e х. Последнюю функцию записывают обычно в виде у = In х и называют натуральным логарифмом числа х.

На практике часто используются логарифмы по основанию 10, или

р ис

.десятичные логарифмы. Для десятичного логарифма принята сокращенная запись у = lg х.

Тригонометрические функции.

Функции у = sin х, у = cos х определены при всех значениях х, функция

П

y =tgx определена на всей числовой оси, кроме точек х = (2 k + 1)2 , (к = 0, ±1, ±2,...).

Функция у = ctg х определена на всей числовой оси, кроме точек х=кП, (к = О, ±1, +2...).

Г рафики тригонометрических функций изображены на рис. 9 (a,b,c,d).

Рис.9.

Более подробно об обратных тригонометрических функциях, см. [1], стр. 93 - 97.

Со степенными функциями тесно связаны следующие функции, которые называются алгебраическими:

1. Многочлен (полином)-целая рациональная функция:

у= a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + а₀, (а_n≠0),

постоянные числа, называются коэффициентами; n£ N степень многочлена. Функция определена на всей числовой оси.

2. Дробно-рациональная функция. Эта функция определяется как отношение двух многочленов

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + а₀

y = b_mx^m + b_m-1x^m-1+ … + b₀

Эта функция определена всюду, кроме точек, в которых, знаменатель равен

нулю.

Сложные функции. Пусть даны две функции y=f(u) и и =ф(х), причем множество значений функции ф(х) является подмножеством области определения функции f(u). Сложной функцией (или функцией от функции, или композицией функций) y=f[ф(x)] называется функция, определенная следующим образом: каждому значению х из области определения функции ф(х) соответствует такое значение у, что у = f(u), где u= ф(х). Переменная и называется промежуточным

аргументом сложной функции. Например, функцию у= √sin х можно записать

в виде у =√u где u=sinx. Здесь мы имеем цепочку из двух звеньев. На практике

встречаются и более сложные зависимости.

С помощью понятия сложной функции можно дать определение элементарной функции - основного класса функций, изучаемых в математическом анализе.

Элементарной функцией обычно называют перечисленные выше основные элементарные функции, а также функции, которые можно получить из них с помощью конечного числа арифметических операций и построения сложных функций.

Очевидно, что основные элементарные функции относятся к классу элементарных функций.

Примеры элементарных функций:

1. у=|х|.

2. y=lg (1 + sin x).

3 У =

х, если 0 ≤ х ≤1 IЗх Зх— 2,если1<х<3

Замечание. При решении прикладных задач возникают функции, не являющиеся элементарными.

§ 5 Понятие числовой последовательности Говорят, что задана бесконечная числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-нибудь закону однозначно поставлено в соответствие определённое число(член последовательности). Обозначим члены последовательности х₁,х₂...х_n, ...(х₁- первый член, х₂- второй член, х_n- n-ый или общий, член последовательности). Тогда x_n=f(n) (Каждый член последовательности есть некоторая функция своего номера).

Последовательность есть частный случай функции. Её областью определения является множество натуральных чисел. Основным способом задания числовой последовательности является аналитический способ, когда последовательность задаётся формулой n-го члена.

П: 1) ; ; …: 2)

Последовательность { } (n N) называется возрастающей, если с любого натурального n выполняется неравенство . Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. П: Исследовать последовательность на монотонность. Решение. 1) 2)Приведём к общему знаменателю:

Из сравнения этих дробей следует, что ,следовательно, данная последовательность является возрастающей.j

Последовательность { } называется ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что для всех n € M выполняется неравенство m≤x_n≤M