Задания для самостоятельного решения

Рассказывают, что в библиотеке университета Сарагосы есть книги, обладающие вздорным нравом. Возьмет, бывало, такую книгу в руки старательный студент, а ей покажется, что он руки не вымыл, или просто лицо его не понравится, и тогда вместо подлинных записей бедняга прочитает там бессмысленную ерунду, а то и вовсе запрещенную ересь, вызубрит наизусть, скажет потом вслух на экзамене, и жизнь его пойдет прахом. Правда, говорят, что некоторые студенты, напротив, нравятся книгам. И тогда они обнаруживают среди страниц учебника тайные знания, сокрытые даже от профессоров. Но и в этом случае жизнь их зачастую идет прахом, ибо многие знания сулят многие беды, и нельзя человеческому уму подолгу раздумывать о непостижимом.

Макс Фрай «Большая телега»

Вариант 1

1. Четыре студента садятся в поезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый студент с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения студентов в поезде.

2. В ящике 20 шариков, помеченных номерами 1,2,…,20. Из ящика наудачу извлечены 5 шариков. Найти вероятность того, что среди них окажется шарик с номером 3.

3. Стрелок произвёл четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причём вероятность попадания в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена три раза.

4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,4), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,5.

5. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдёт упрощённый контроль. Взятое изделие прошло упрощённый контроль, найти вероятность того, что оно стандартное.

6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 0,3. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий?

7. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.

8. У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется).

X	– 4	0	1	2
P	0,1	0,5	0,2

9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.

а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.

б) Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины .