Вариант 19
1. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более пяти, а во второй не более девяти человек?
2. Экзамены в учебной группе принимают два экзаменатора. Каждый из экзаменаторов должен проэкзаменовать по 12 студентов. Найти вероятность того, что при случайном распределении студентов два конкретных студента попадут к первому экзаменатору.
3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второго – 0,8, третий – 0,75. Найти вероятность того, что за смену только третий станок потребует внимания рабочего.
4. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие означает безотказную работу за время Т элемента с номером i (i = 1,2,3,…), а событие B – безотказную работу цепи. Требуется: а) написать формулу, выражающую событие B через события ; б) Найти вероятность события B при р = 0,8.
5. В водоёме обитают три вида хищных рыб: судаки, щуки и окуни в соотношении 1:3:4. Для поимки хищной рыбы на некоторое время выставляется живцовая снасть. Оказавшийся в поле зрения хищника живец бывает им схвачен с вероятностью 0,4 для судака, 0,3 – для щуки, 0,2 – для окуня.
а) Какова вероятность захвата живца хищником за время ловли, если вероятность обнаружения живца судаком, щукой или окунем пропорциональна их численности?
б) К какому виду вероятнее всего принадлежит рыба, схватившая живца?
6. Всхожесть семян апельсина составляет 70%. Найти вероятность того, что из 9 посеянных семян взойдут не более шести.
7. Книга издана тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее 5 бракованных книг.
8. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0.9, второго экзамена – 0.8, третьего – 0.7. Составить таблицу распределения случайной величины X, где X – число сданных экзаменов.
9. Дискретная случайная величина X задана своим законом распределения.
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
|
а) Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.
б) Найти закон
распределения и математическое ожидание
случайной величины
.
10. Дана плотность вероятности случайной величины X.
Найти:
а) значение параметра C;
б) функцию распределения вероятности ;
в) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;
г) ;
д) построить графики и .
11. Определить закон распределения случайной величины X, если её плотность вероятности имеет вид:
.
Найти:
а) ;
б) среднее квадратическое отклонение ;
в) значение коэффициента А;
г) ;
д)
.
12. Задана таблица распределения дискретной двумерной случайной величины.
X\Y |
0 |
1 |
2 |
1 |
0,02 |
0,08 |
d |
2 |
0,05 |
0,2 |
0,15 |
Найти:
а) значение коэффициента d;
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания и ;
г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.
13. Двумерная случайная величина распределена равномерно в области D. D – треугольник с вершинами в точках (0;0), (– 2;1), (1;1).
а) Составить плотность вероятности .
Найти:
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания и ;
г) дисперсии и , среднеквадратические отклонения , ;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.