Задача д5

Указания. Задача Д5 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается геометрически из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения для случая, когда надо найти , разъяснен в примере Д5.

В случае, когда M=0 и надо определить , воспользоваться законом сохранения кинетического момента (показав, что он здесь имеет место). При этом следует сначала найти и показать на чертеже положение и груза в момент времени (найти, чему равен угол ACD при ), а также определить, чему равна и как направлена скорость в эти моменты времени. После этого, так же как в примере Д6, надо вычислить , но не для произвольного момента времени, а сначала для момента (когда груз в положении и ), а затем для момента (когда груз в положении и ) и использовать закон сохранения .

Момент инерции прямоугольной пластины с массой m и сторонами относительно оси , перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс C, равен .

П ри решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца оси z), как это сделано в качестве примеров для рис. Д6.0 и Д6.! (рис. Д6.0,а и Д6.1,а).

Пример Д5. Горизонтальная трубка AB массой (рис. Д6,а) с помощью стержня OC жестко скреплена с вертикальным валом EH, который вращается вокруг оси z с угловой скоростью (на рис. Д6,б показан вид сверху). В середине C трубки находится шар D массой . В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент M (момент относительно оси z) и одновременно шар начинает двигаться вдоль трубки по закону .

Дано: , , AC=CB=CO= =1м, , (s – в метрах; t – в секундах), M=kt, где k=6Нм/с.

Определить: - закон изменения угловой скорости трубки, пренебрегая массой стержня OC и вала.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB и шара D. Для определения применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

. (1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , реакции и вращающий момент M. Так как силы параллельны оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направлением (т.е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид:

. (2)

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

. (3)

Для рассмотрения механической системы

, (4)

где - кинетические моменты трубки и шара D соответственно.

Так как трубка вращается вокруг оси z, то . Значит найдем по теореме Гюйнгенса: ( - момент инерции относительно оси z’, параллельной оси z и проходящей через центр масс C трубки). Рассматривая трубку как однородный стержень длинной AB=2 , получим

и .

Следовательно,

. (5)

Для определения обратимся к рис. Д6, б и рассмотрим движение шара D как сложное, считая его движение по трубке относительным, а вращение самой трубки вокруг оси z – переносным движением. Тогда абсолютная скорость шара . Поскольку шар D движется по закону , то

; изображаем вектор на рис. Д6, б с учетом знака s (при s<0 направление от было бы противоположным). Затем, учитывая направление , изображаем вектор ( ); численно . Тогда, по теореме Вариньона,

. (6)

Но из рис. Д6, б видно, что . Подставляя эту величину в равенство (4), получим с учетом данных задачи

. (7)

Тогда уравнение (3), где k=6, примет вид

. (8)

Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при t=0, . Получим . При этом значении из уравнения (8) находим искомую зависимость от t.

Ответ: (где t – в секундах).