Задача к4
Указания.
Задача К4 – на сложное движение точки.
Для ее решения воспользоваться теоремами
о сложении скоростей и о сложении
ускорений. Прежде чем производить все
расчеты, следует по условиям задачи
определить, где находится точка M
на пластине в момент времени 
,
и изобразить точку именно в этом положении
(а не в произвольном, показанном на
рисунках к задаче).
В случаях, относящихся к рис. 5-9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки M в момент времени и угол между радиусами CM и CA в этот момент.
Пример
К4.
Шар радиуса R
(рис. К4, а) вращается вокруг своего
диаметра AB
по закону 
(положительное направление отсчета
угла ᵠ показано на рис. К4, а дуговой
стрелкой). По дуге большого круга
(«меридиану») ADB
движется точка M
по закону 
;
положительное направление отсчета s
от A
к D.
Дано:
R=0,5м,
,
(
- в радианах, s
– в метрах, t
– в секундах).
Определить:
в момент времени 
.
Решение.
Рассмотрим движение точки M
как сложное, считая ее движение по дуге
относительным (
– относительная траектория точки), а
вращение шара – переносным движением.
Тогда абсолютная скорость 
и абсолютное ускорение 
точки найдутся по формулам:
,
(1)
где,
в свою очередь, 
,
.
Определим все характеристики относительного и переносного движений.
1. Относительное движение. Это движение происходит по закону
.
(2)
Сначала установим, где будет находится точка M на дуге в момент времени . Полагая в уравнении (2) t=1с, получим
.
Тогда 
или
.
Изображаем на рис К4, а точку в положении,
определяемом этим углом (точка 
).
Теперь
находим числовые значения 
,
,
:
;
;
,
где
- радиус кривизны относительной
траектории, т.е. дуги
.
Для момента времени
,
учитывая, что R=0,5м,
получим
;
;
(3)
.
Знаки
показывают, что вектор
направлен в сторону положительного
отсчета расстояния S,
а вектор 
- в противоположную сторону; вектор 
направлен к центру C
дуги
.
Изображаем все эти векторы на рис. К4,
а. Для наглядности приведен рис. К4, б,
где дуга
совмещена с плоскостью чертежа.
2.
Переносное
движение.
Это движение (вращение) происходит по
закону
.
Найдем угловую скорость 
и угловое ускорение 
переносного вращения: 
и при
;
(4)
Знаки указывают, что при направление совпадает с направлением положительного отсчета угла , а направление ему противоположно; отметим это на рис. К4, а соответствующими дуговыми стрелками.
Для
определения 
и 
находим сначала расстояние h
точки
от оси вращения. Получаем 
.
Тогда в момент времени
,
учитывая равенство (4), получим:
,
,
(5)
.
Изображаем
на рис. К4, а векторы
и 
с учетом направлений 
и вектор 
(направлен
к оси вращения).
3.
Кориолисово
ускорение.
Так как угол между вектором 
и осью вращения (вектором 
)
равен
,
то численно в момент времени
[см. равенство (3) и (4)]
(6)
Направление
найдем, спроектировав вектор
на плоскость, перпендикулярную оси
вращения (проекция направлена так же,
как вектор 
),
и повернув затем эту проекцию в сторону
,
т.е. по ходу часовой стрелки, на 
.
Иначе направление
можно найти, учтя, что 
.
Изображаем вектор
на рис. К4, а.
Теперь можно вычислить значения .
4.
Определение
.
Так как 
,
а векторы 
взаимно перпендикулярны (см. рис. К4, а),
то в момент времени
;
5.
Определение
.
По теореме о сложении ускорений
.
(7)
Для
определения
проведем координатные оси 
(см. рис. К4, а) и вычислим проекции вектора
на эти оси. Учтем при этом, что векторы
и 
лежат на проведенной оси x,
а векторы 
,
и 
расположены в плоскости дуги
,
т.е. в плоскости
(см. рис. К4, б). Тогда, проектируя обе
части равенства (7) на координатные оси
и учтя одновременно равенство (3), (5),
(6), получим для момента времени
:
;
;
.
Отсюда находим значение в момент времени :
.
Ответ:
;
.