§ 2. Площа поверхні обертання.

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги гладкої кривої, заданої функцією , , обчислюється за формулою

. (29.7)

Якщо гладка крива задана рівнянням , , то площа поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі , може бути обчислена за формулою

. (29.8)

У разі параметричного задання кривої рівняннями , , , де функції , - неперервні разом із своїми похідними, відповідні площі поверхні обчислюються за формулами:

, (29.9)

. (29.10)

Площа поверхні, отриманої обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою та двома полярними радіусами , , визначається за формулою

. (29.11)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти площу поверхні сфери, як тіла обертання.

Розв’язання

Нехай сфера утворена обертанням кола навколо осі . Знайдемо :

(верхня половина кола), тоді

.

Обчислимо , тоді

.

Отже, за формулою (3.17):

.

Площа поверхні сфери дорівнює .

2. Знайти бічну поверхню параболоїда, утвореного обертанням параболи навколо осі на відрізку .

Розв’язання

Якщо , то .

Т ак як вітки параболи симетричні відносно осі , будемо вважати, що тіло утворено обертанням верхньої вітки, рівняння якої . Отже, . Тоді .

Тепер .

Маємо:

кв. од.

3. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги синусоїди від до .

Розв’язання

Скористуємось формулою (29.10). Спочатку знайдемо

, тоді .

Отже,

.

Позначимо та обчислимо його частинами. Будемо мати:

.

Звідки , тому .

Повернемося до обчислення площі поверхні:

кв. од.

4. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням прямої навколо осі від до .

Розв’язання

Виразимо : . Скористаємось формулою (29.5), для цього знайдемо , тоді .

Отримаємо: кв. од.

5. Обчислити поверхню тора, утвореного обертанням кола навколо осі .

Розв’язання

Поверхня тора дорівнює сумі поверхонь, утворених обертанням дуг та навколо осі . Щоб скористатися формулою (3.17), розв’яжемо рівняння кола відносно . Маємо: , звідки , .

Для дуги : , , .

Обчислимо , . Для дуги : , , .

Отже,

.

Відрізок інтегрування симетричний, тобто

кв. од.

6. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі кривої

Розв’язання

Застосуємо формулу (3.19), для цього знайдемо , . Обчислимо

.

Тоді отримаємо:

кв. од.

7. Знайти поверхню тіла, утвореного обертанням однієї арки циклоїди навколо осі .

Розв’язання

Використовуючи формулу (29.9), обчислимо спочатку , .

Тоді

.

Отже,

кв. од.

8. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

Розв’язання

Використаємо формулу (29.11), для цього знайдемо:

EMBED Equation.3 ,

.

кв.од.

9. Обчислити площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати навколо полярної осі.

Розв’язання

О бчислимо половину шуканої площі поверхні, а саме:

. Знайдемо з рівняння .

Тоді .

Обчислимо

.

Тоді

.

кв. од.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити площі поверхонь тіл, утворених обертанням кривих навколо відповідної осі:

1. , , ?

2. , , ?

3. , , ?

4. , , ?

5. Знайти поверхню сфери, заданої в полярних координатах.

§ 3. (С. р. Знаходження статичних моментів і координат центра мас. Теореми Гульдіна. Обчислення роботи та сили тиску.)

Лекція № 30

Тема: Невласні інтеграли першого роду. Невласні інтеграли другого роду.

План лекції:

§1. Невласні інтеграли першого роду.

§2. Невласні інтеграли другого роду

§1. Невласні інтеграли першого роду.

1. Невласні інтеграли першого роду – це інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування.

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного , так що існує.

Означення. Границя при називається невласним інтегралом від функції f(x) на нескінченному проміжку і позначається так: .

Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.

Якщо f(x) — інтегровна для скінченних a та b, тобто формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

(30.1)

(30.2)

(30.3)

де

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле

. (30.4)

Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:

1. р = 1. інтеграл розбіжний.

1. p < 1. , інтеграл розбіжний.

2. p > 1.

, інтеграл збіжний.

Отже, інтеграл Діріхле збіжний при p > 1 та розбіжний при .

Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх на збіжність існують і інші методи.

Одним із таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона (рис. 30.1)

Рис. 30.1

, (30.5)

особливість якого полягає в тому, що первісна для підінтегральної функ­ції не виражається через елементарні функції.

У деяких випадках достатньо вста­новити лише збіжність чи розбіжність розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом порівняння, що базується на такій теоремі:

Теорема 1. Якщо при виконується нерівність , то зі збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла або з розбіжності випливає розбіжність .

Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома, наприклад інтеграл Діріхле.

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла .

l .

— збіжний, як інтеграл Діріхле із р = 2 > 1, тому буде збіжним і .