Застосування регресійного аналізу: проблема прогнозу

Побудоване на основі вибіркових даних рівняння регресії можна застосовувати для прогнозу або передбачення майбутніх значень Y, відповідних деякому даному Х. Найбільш грубою оцінкою прогнозу буде визначення однієї точки для значення заданого значення – так званий точковий прогноз. Оскільки значення є оцінкою, напевно числове його значення відрізняється від істинного. Тому для розрахунку точних прогнозів визначають не одну точку, а прогнозний інтервал. Можливі такі два види прогнозу:

1. Середній прогноз: прогноз умовної середньої величини Y, відповідний вибраному Х₀.

2. Індивідуальний прогноз: прогноз індивідуальної величини Y, відповідної Х₀.

Прогнозування середнього значення залежної змінної

Довірчий інтервал для теоретичної функції регресії знаходимо за формулою:

де визначається за таблицею розподілу Стюдента по заданій надійності і числу ступенів свободи , а визначається за формулою:

=

Прогнозування індивідуального значення залежної змінної

Довірчий інтервал для прогнозованого індивідуального значення із заданою надійністю :

де , визначається так, як описано вище.

Зауваження 1. Ширина довірчого інтервалу прогнозу залежить від значення : при вона мінімальна, а по мірі віддалення від середнього значення ширина довірчого інтервалу збільшується (рис. 4).

Рис. 4. Довірча область для умовних середніх залежної змінної

Зауваження 2. Для індивідуальних значень змінної Y довірчий інтервал при тому ж рівні довіри ширший, ніж для умовного середнього , і включає довірчий інтервал для умовного середнього значення

Коефіцієнт еластичності

Для характеристики впливу регресора Х на залежну змінну Y в моделі використовується коефіцієнт еластичності KE.

Припустимо, величина y залежить від х і ця залежність описується функцією . Приріст незалежної змінної приводить до відповідної зміни залежної – _. З точки зору економічних досліджень важливим є питання, як вимірювати вплив зміни одного фактору на інший. Як відомо, одним з показників реагування y на зміну x слугує похідна

,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу. Однак в економіці цей показник незручний у використанні, оскільки він залежить від вибору одиниць вимірювання. Наприклад, якщо розглядати функцію попиту на певний продукт (S) від його ціни (Р), яка буде вимірюватися в грн., то бачимо, що значення похідної

при кожній ціні залежатиме від того, в яких одиницях вимірюється попит на цей продукт: кілограмах, центнерах, тонах тощо. Відповідно значення похідної будуть вимірюватися в кг./грн., ц./грн., або т./грн. отже при одному й тому ж значенні ціни похідні будуть різними. Тому в загальному випадку для виміру чуттєвості зміни функції до зміни аргументу в економці вивчають зв’язок не абсолютних змін х та y, ( ), а їх відносних чи процентних змін.

Визначення. Коефіцієнт еластичності – границя відношення зміни у відсотках однієї ознаки при зміні на один відсоток іншої:

Коефіцієнт еластичності характеризує відносну зміну залежної змінної при зміні пояснюючої змінної на 1%.

В загальному випадку буде неперервною функцією від . Наприклад, якщо залежність попиту y від доходу x визначається функцією , то буде визначатися наступним чином

.

Таким чином, коефіцієнт еластичності в даному випадку є сталою величиною.

Якщо залежність y від x визначається лінійною функцією , то маємо:

Тобто в цьому випадку є функцією від х.