Визначення параметрів моделі.

Для оцінки параметрів регресій, лінійних за параметрами, використовується метод найменших квадратів (1МНК). 1МНК дозволяє отримати такі оцінки параметрів, при яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки у від теоретичних значень при тих самих значеннях фактора х мінімальна, тобто:

Геометрична ілюстрація метода найменших квадратів представлена на рис. 2.

Рис. 2.

У випадку лінійної регресії параметри знаходять з наступної системи нормальних рівнянь:

В даній системі n – кількість спостережень, , , , – величини, які можна розрахувати на основі вихідних спостережень над змінними і .

Розв’язавши дану систему, одержимо оцінки невідомих параметрів і :

;

Зауваження 1. 1МНК доцільно застосовувати тоді, коли виконуються наступні передумови (гіпотези):

1) математичне сподівання залишків має дорівнювати нулю;

2) значення вектора залишків ε незалежні між собою і мають постійну дисперсію;

3. незалежна змінна моделі не зв’язана із залишками.

Ці гіпотези відомі як умови Гауса–Маркова. При виконанні цих умов метод найменших квадратів дає найкращу в певному сенсі модель. Якщо деякі умови не виконуються, то необхідно застосовувати більш складні методи оцінювання.

Зауваження 2. Для нелінійних регресійних моделей, що є нелінійними відносно пояснюючої змінної, але лінійні по параметрам, 1МНК застосовується аналогічно лінійній регресії. У регресії нелінійної за параметрами, що оцінюються, залежно від вигляду функції можливо застосування лініарізуючого перетворення (детальніше див. лабораторну роботу присвячену нелінійним моделям).

Аналіз якості рівняння регресії як математичної моделі

Для практичного використання економетричної моделі велике значення має її адекватність, тобто відповідність реальному процесу і тим статистичним даним, на основі яких побудована модель.

Аналіз якості (верифікація моделі) включає:

• Перевірку загальної якості рівняння регресії;

• Перевірку статистичної значущості коефіцієнтів;

• Перевірку точності моделі;

• Перевірку властивостей, виконання яких передбачалося при оцінюванні рівняння,наприклад, умов Гаусса– Маркова (не входить до завдань даної лабораторної работи)

Перевірка загальної якості рівняння регресії

Для оцінки якості побудованої моделі регресії можна використовувати коефіцієнт детермінації. Коефіцієнт детермінації є мірою, яка дозволяє визначити наскільки вдало емпіричне рівняння регресії узгоджується із статистичними даними та характеризує, якою мірою варіація залежної змінної визначається варіацією незалежної змінної. На основі коефіцієнта детермінації можна зробити висновок про ступінь значущості вимірюваного зв’язку на основі економетричної моделі.

Визначення. Коефіцієнт детермінації R² характеризує долю дисперсії, що пояснюється регресією, в загальній дисперсії результативного фактора. R² обчислюється за формулами:

або .

R² змінюється від нуля до одиниці, тобто . При значенні рівному 1 виникає функціональний зв'язок, а при значенні рівному 0 – зв'язок відсутній.

При визначенні, яке значення R² можна вважати задовільним при оцінці моделі можна керуватися наступною шкалою Чеддока

		(0,3–0,5]	(0,5–0,7]	(0,7–0,9]	>0,9
Якість зв’язку	слаба	помірна	замітна	суттєва	дуже суттєва

Тісноту зв’язку вивчаємих факторів можна оцінити за допомогою лінійного коефіцієнта парної кореляції r_xy.. Для випадку парної регресії дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції змінних та ( ).

Визначення. Коефіцієнт парної кореляції r_xy є мірою лінійної асоціативності (лінійного зв’язку) між двома змінними. Обчислюється за формулами:

або

Коефіцієнт кореляції може приймати значення від мінус одиниці до одиниці, тобто . Чим ближче r до одиниці по модулю, тим тіснішим є зв’язок. Від’ємний знак свідчить про обернений зв’язок (рис. 3 б), г)), додатній – про прямий (рис. 3 а), в)). Якщо змінні статистично незалежні, коефіцієнт кореляції між ними дорівнює нулю (рис. 3 д), е), ж), з))

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

Рис. 3. Кореляційний коефіцієнт для різних випадків вибірок:

а)r=1; б) r=–1; в) r близький до 1; г) r близький до –1;

д) r додатній, близький до 0; е) r від’ємний, близький до 0;

ж) r=0; з) r=0

Зауваження 1. Оскільки коефіцієнт кореляції характеризує тісноту тільки лінійної залежності він незастосовний для опису нелінійної залежності. Так, на рис. 3 з) є точна залежність Y=X², хоча . Таким чином, нульовий коефіцієнт кореляції не обов’язково означає незалежність.

Зауваження 2. За своєю природою коефіцієнт кореляції симетричний, тобто кореляція між Х і Y (r_XY) така ж, що й між Y і Х (r_YX).

Зауваження 3. Хоча r є мірою лінійної асоціативності між двома змінними, це необов’язково означає який–небудь причинно–наслідковий зв’язок. Треба уникати та званих ложних кореляцій, тобто неможна зв’язувати явища між якими відсутні реальні причинно–наслідкові зв'язки.

Перевірка статистичної значущості

Побудова эконометрической моделі грунтується на вибіркових статистичних даних. Параметри рівняння, коефіцієнти кореляції і інші характеристики моделі, визначені на основі вибіркової сукупності спостережень, очевидно відрізнятимуться від відповідних величин, розрахованих по генеральній сукупності. Тому вибіркові характеристики містять помилки, пов'язані з неповним охопленням спостереженнями усіх одиниць генеральної сукупності. А це, у свою чергу, вимагає перевірки надійності і статистичної значущості параметрів моделі і тих характеристик, по яких оцінюється її адекватність.

Статистична значущість результату є оціненою мірою упевненості в його статистичної значущості вводиться поняття рівня статистичної значущості та рівня надійності.

_{Визначення. Рівень значущості α – це ймовірність відхилити гіпотезу при умові, що вона вірна, тобто α–рівень – вірогідністю помилки, пов'язаної з поширенням спостережуваного результату на усю генеральну сукупність. Наприклад, α = 0,05 показує, що є 5% вірогідність, що знайдений у вибірці зв'язок між змінними є лише випадковою особливістю цієї вибірки.}

Вибір певного рівня значущості, вище за яке результати відкидаються як помилкові, є досить довільним. У економетричних дослідженнях рівень 0,05 є прийнятною межею статистичної значущості. Результати з рівнем більше 0,05 розглядаються як високо значущі.

Визначення. Величину _, обернену до рівня значущості називають надійностю результата.

Перевірка статистичної значущості здійснюється за допомогою перевірки статистичних гіпотез, що передбачає виконання наступних етапів:

• формулюється у вигляді основної статистичної гіпотези завдання дослідження та вибирається альтернативна гіпотеза;

• вибирається статистичний критерій і обчислюється його фактичне значення;

• визначається критична область, а також критичне значення статистичного критерію по відповідній таблиці теоретичних розподілів;

• перевіряється основна гіпотеза на основі порівняння фактичного і критичного значень критерію. Залежно від результатів перевірки основна гіпотеза або відхиляється, або приймається.

Зауваження. Перевірка якої-небудь характеристики моделі на статистичну значущість означає перевірку гіпотези про те, чи не може дана характеристика дорівнювати нулю в генеральній сукупності.

Перевірка гіпотез найпростішої двовимірної моделі регресії передбачає:

1. перевірку на статистичну значущість коефіцієнта кореляції r.

2. Перевірку статистичної значущості оцінок параметрів економетричної моделі

3. Перевірку загальної значущості оціненої парної моделі регресії

Розглянемо кожне питання окремо.