8.3. Понятие корреляционно-регрессионного анализа, условия его применения

Корреляционно-регрессионный анализ (КРА) – один из методов многомерного статистического анализа, в котором форма и интенсивность связи представлены в формализированном виде, т.е. в виде математических уравнений и формул.

КРА можно применять при соблюдении следующих условий:

1. Должна быть достаточная численность наблюдений (как правило, считается, что число факторов должно быть меньше числа наблюдений в 6-8 раз);

2. Наблюдения должны быть статистически независимы;

3. Совокупность, по которой рассчитывается КРА, должна быть однородна (подчиняться одному закону развития);

4. Должны быть количественные переменные.

Выполнение условий 1-4 необходимо для того, чтобы применять результаты КРА для прогнозных, нормативных, перспективных расчетов. Иначе результаты КРА пригодятся только для объяснения фактов [1].

Выделяют две основные задачи КРА:

- оценка параметров уравнения регрессии, т.е. уравнения, которое описывает взаимосвязь между факторами х и у (задача регрессионного анализа);

- оценка тесноты связи (задача корреляционного анализа).

Для оценки параметров используется несколько методов математической статистики:

- наименьших квадратов;

- наименьших расстояний;

- избранных точек.

Рассмотрим технологию оценки параметров методом наименьших квадратов на простейшем примере: один фактор, один результат, связь прямая.

Метод наименьших квадратов.

Идея метода: теоретическая прямая строится таким образом, чтобы был минимум Δ:

где

Решая относительно а и в это уравнение, находим оценки параметров:

Решая систему линейных нормальных уравнений относительно а и в, получим оценки параметров а и в, обеспечивающие minΔ.

Пример оценки параметров уравнения регрессии.

Имеются данные о стаже и выработке (графы 1-2, табл. 33):

Таблица 33

Расчет параметров

№ п.п.	Стаж х	Месячная выработка у		xy
A	1	2	3	4	5	6	7	8
11	4,0	220	16,0	880,0	48400	266,06	5712,3364	871,43
22	6,5	310	42,25	2015,0	96100	282,90	207,9364	160,846
33	4,2	327	17,64	1373,4	106929	267,41	987,2164	793,718
44	4,5	275	20,25	1237,5	75625	269,43	423,5364	683,953
55	6,0	280	36,0	1680,0	78400	279,53	242,7364	257,602
66	4,5	253	20,25	1138,5	64009	269,43	1813,0564	683,953
77	4,7	245	22,09	1151,5	60025	270,77	2558,3364	615,313
88	16,0	340	256,0	5440,0	115600	346,88	1973,1364	2631,69
99	13,2	312	174,24	4118,4	97344	328,02	269,6164	1052,48
10	14,0	352	196,0	4928,0	123904	333,41	3183,2164	1431,11
11	11,0	325	121,0	3575,0	105625	313,21	865,5364	310,641
12	12,0	308	144,0	3696,0	94864	319,94	154,2564	593,41
Итого	100,6	3547	1065,72	31233,3	1066825	-	18390,917	10086,1

Построим уравнение связи между стажем и месячной выработкой.

Определим параметры уравнения регрессии по приведенным выше формулам (промежуточные расчеты оформим в табл. 32 (графы 3-5).

Таким образом, получилось уравнение регрессии:

На основании полученного уравнения рассчитаем теоретические уровни признака у (по уравнению связи, подставляя в него значения признака х). Результаты расчетов занесем в табл. 32.

Интерпретация полученных параметров:

Чаще всего параметр а не имеет экономической интерпретации. Иногдаа показывает начальный уровень у, т.е. значение у при х = 0.

Параметр в – сила связи, т.е. увеличение стажа на 1 год в среднем приводит к увеличению выработки на 6,735 руб.