13. Уравнение неразрывности потока. Вывод уравнения. Применение уравнения к решению практических задач.

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов.

Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz(см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через  . Скорость жидкости, вытекающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна

Рис. 2.35. Движение жидкости через контур

 

.

Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не зависит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой  , а вытекает через правую грань

.

Значит, за 1 с из параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем втекает, на

Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю:

.

(2.33)

Это уравнение называют уравнением неразрывности, т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой.

Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь   и в этом сечении скорость жидкости  , а ее плотность  . Площадь сечения на выходе из трубки тока  , скорость течения жидкости  , и ее плотность  . Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу времени масса жидкости  . Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости  . В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левым и правым сечениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет:

const.

(2.34)

Если плотность жидкости по длине трубки тока не изменяется, т.е.  = , то можно записать для левого и правого сечений:

= const или  const.

(2.35)

Полученное уравнение является уравнением неразрывности для трубки тока.

Для потока реальной жидкости уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

,

(2.36)

где   и   – площади сечения потока в сечениях на входе и на выходе;   и  – средние скорости потока в этих сечениях.

Можно сделать два важных вывода:

1. При установившемся движении жидкости объемный расход не меняется;

2. При увеличении площади сечения потока жидкости средняя скорость уменьшается, и, наоборот, при уменьшении сечения - скорость увеличивается.

14. Уравнение Д.Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и2-2.Площади живых сечений потока обозначим dЙ1 и dЙ2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0- 0 характеризуется величинами z1и z2. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P1, P2и u1, u2 соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равноеu1dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние u2dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы p1dЙ1 на путь u1dt:

.

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение

.

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:

.

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG:

.

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z1 – z2) и работа, произведённая силами тяжести, составит:

.

Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит

.

Приравнивая приращение кинетической энергии сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду:

.

Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим

.

После сокращения и преобразований придём к искомому виду

Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин   описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

Таким образом, снова получено то же (ранее полученное интегрированием уравнений Эйлера)  уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.