Задача 48
Для
линейного уравнения регрессии
(m
- число независимых переменных уравнении)
исследуйте остатки на наличие
автокорреляции на уровне значимости
,
используя тест Дарбина-Уотсона,
если известны значения
и
, число наблюдений равно n.
|
|
Число независимых переменных m |
число наблюдений равно n |
Уровенеь значимости
, |
14,87 |
29,16 |
4 |
16 |
0,01 |
Решение
Проверим нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции.
Конкурирующие гипотезы
и
соответственно о наличии положительной
и отрицательной автокорреляции в
остатках.
Рассчитаем критерий Дарбина-Уотсона по формуле:
По
таблице критических точек Дарбина-Уотсона
определим
(нижнее) и
(верхнее) значения критерия
Дарбина-Уотсона для заданного
числа наблюдений
=18,
числа независимых переменных модели
m=4
и уровня значимости
=0,01.
По
этим значениям числовой промежуток
разобъём на пять отрезков:
1).
,
2).
,
3).
,
4).
и 5)
.
DW
=
0,51
По таблице Дарбина-Уотсона для n=16 и m=4 (уровень значимости 1%) находим:
= 0,332; = 1,663
Поскольку найденное значение DW=0,51 попадает во второй интервал ( ), то можно сделать вывод , что значение попадает в так называемую зону неопределенности и не имеем возможности ни опровергнуть, ни принять ни одну из гипотез.
Задача 59
В результате
анализа динамики объёма продаж торгового
предприятия за
2001-2013гг.было
выявлено , что модель временного ряда
имеет только трендовую составляющую
= a + b∙
t
( где t=
1,2, . . .
,14) . Сделайте точечный и интервальный
прогноз объёма продаж продукции
предприятия в момент
,
если уровень значимости равен α
, а остаточная сумма квадратов
Дано
: а=14,3 млн.руб.,
b=0,1 млн.руб.,
0,7,
α = 0,01,
15.
Решение
Точечный прогноз : . = 14,3 + 0,1∙ 14,3 + 0,1∙15 = 15,8 млн.руб.
Предельная ошибка прогноза:
= t(n-2;
α)
∙
По таблице значений критерия Стьюдента найдем :
t(n-2; α) = t(12; 0.01) = 3,055
=
=
=
7,5
= (1-7,5)² +(2-7,5)²
+(3-7,5)² +(4-7,5)²
+(5-7,5)² +(6-7,5)²
+(7-7,5)² +(8-7,5)²
+ +(9-7,5)²
+(10-7,5)² +(11-7,5)²
+(12-7,5)² +(13-7,5)²
+(14-7,5)² =
= 2∙ (6,5² + 5,5² + 4,5² +3,5² +2,5² +1,5² +0,5² ) = 227,5
Предельная ошибка прогноза будет равна:
=3,055 ∙
0,85
Интервальный прогноз:
-
+
-
+
14,95
16,65
Таким образом , с вероятностью 0,95 можно утверждать, что в 2014г. объём продаж продукции будет в диапазоне от 14,95 до 16,65 млн.руб.
Задача 63
Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели .
Конъюнктурная модель имеет вид:
=
=
=
=
,
где С - расходы на потребление;
Y- ВВП;
I- инвестиции;
r- процентная ставка;
М – денежная масса;
G – государственные расходы;
t - текущий период;
t-1 – предыдущий период;
Решение:
Модель включает
четыре эндогенные переменные (
и четыре предопределенные переменные
(две экзогенные переменные -
и
две лаговые эндогенные переменные -
).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого уравнения модели.
Необходимое условие идентификации (НУИ):
D+1=H - Уравнение идентифицируемо.
D+1 H - Уравнение сверхидентифицируемо.
D- число предопределенных переменных, отсутствующих в анализируемом уравнении, но присутствующих в системе;
Н- число эндогенных переменных, которые присутствуют в рассматриваемом уравнении. Предопределенные переменные - это экзогенные и лаговые переменные( за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные.
Первое
уравнение.
Уравнение включает две эндогенные
переменные (
= 2 и одну предопределенную переменную
–
m1 = 1. Таким образом, M - m1 = 4 - 1 = 3 > k1 - 1 = 2
- 1 = 1. Уравнение сверхидентифицируемо.
Второе
уравнение.
Уравнение включает две эндогенные
переменные (
– k2 = 2 и одну предопределенную переменную-
m2 = 1. Следовательно, M - m2 = 4 - 1 = 2 > k2 -1 = 2
- 1 = 1. Уравнение сверхидентифицируемо.
Третье
уравнение.
Уравнение включает две эндогенные
переменные (
– k3 = 2 и одну предопределенную переменную–
m3 = 1.
Следовательно, M - m3 = 4 - 1 = 3 > k3 - 1
= 2 - 1 = 1. Уравнение сверхидентифицируемо..
.
Четвёртое
уравнение.
Уравнение включает в себя четыре
эндогенные переменные (
и представляет собой тождество, параметры
которого известны. Поэтому идентифицировать
это уравнение не нужно.
Проверим достаточное условие идентификации для каждого уравнения модели.
Достаточное условие идентификации (ДУИ):
Определитель матрицы, составленный из коэффициентов , отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы:
Cоставим матрицу коэффициентов при переменных рассматриваемой модели:
|
Сt |
Yt |
Ct-1 |
It |
|
It-1 |
Mt |
Gt |
I уравнение |
-1 |
b11 |
b12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
II уравнение |
0 |
0 |
0 |
-1 |
b21 |
b22 |
0 |
0 |
III уравнение |
0 |
b31 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
b32 |
0 |
IV уравнение |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, которые не входящих в уравнение, имеет вид:
А=
Определитель данной матрицы не равен нулю
Det
=
В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4 - 1 = 3. Ранг матрицы А равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю Достаточное условие идентификации для первого уравнения выполняется.
Второе уравнение. Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:
А=
Определитель данной матрицы не равен нулю
Det
=
Ранг матрицы А равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю . Достаточное условие идентификации для второго уравнения выполняется.
Третье уравнение. .
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:
А=
Определитель данной матрицы не равен нулю
Det
=
Ранг матрицы А равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю . Достаточное условие идентификации для третьего уравнения выполняется. Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы.
Модель в целом является сверхидентифицируемой.