Задача 19

По группе 15 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции У ( тыс.руб.) от уровня технической оснащённости Х (тыс.руб.):

У = 30 + . Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,25.

Определите:1) индекс корреляции; 2) статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера(α =0,05); 3) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200тыс.руб.

Решение

Имеем уравнение нелинейной регрессии.

Общая дисперсия объясняемой переменной равна = 100 % , доля остаточной дисперсии, в общей составило 0,25, т.е =25%.

1) Определим индекс корреляции.

= 0,866

Проверим статистическую значимость уравнения регрессии с помощью критерия Фишера на уровне значимости 0,05.

Индекс корреляции равен 0,866,тогда индекс детерминации равен R² = (0,866)² 0,75.

2)Проверяется нулевая гипотеза Hо об отсутствии нелинейной связи между переменными Х и У, т.е. R² =0 , конкурирующая гипотеза – о наличии нелинейной связи между переменными Х и У , т.е. R² 0 .

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия Фишера: n=15

= ∙ ( n -2),

= ∙ ( 15 -2) 39

Найдём табличное значение критерия Фишера, .

Для нашей задачи: ( ; ; α ),Степени свободы: =1, = n-2=15-2=13, уровень значимости α =0,05

( ; ; 0,05) =4,67

Поскольку наблюдаемое значение 39 = > F_табл= 4,67, то нулевая

гипотеза Но об отсутствии нелинейной связи между переменными Х и У отклоняется на уровне значимости α =0,05 и принимается конкурирующая гипотеза , т.е. признаётся статистическая значимость уравнения регрессии.

3)Найдём коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200тыс.руб. ( = 200)

уравнение равносторонней гиперболы вида: = ; Для нашей задачи : y = 30 +650∙ , где а = 30; = 650

Коэффициент эластичности найдём по формуле:

= = - 0,098 ;

Задача 30

По 25 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции одного работника у (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

1,725+0,903 + 0,081 , где = 9,6 ; = 6,27 ; = 22,3.

Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Ранжировать факторы по силе влияния. Найти скорректированный коэффициент детерминации, если множественный коэффициент детерминации равен 0,74.

Решение

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

,

где – параметры модели.

Для нашей задачи имеем : = -1,725 ; = 0,903; = 0,081.

= 9,6 ; = 6,27 ; = 22,3 ; R² = 0,74 , n =25, р = 2.

Определим коэффициенты эластичности по формуле:

.

= 0,903 ∙ 0,59 ; = 0,081 ∙ 0,19

Коэффициент эластичности 0,59 < 1, следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Коэффициент эластичности 0,19 < 1, следовательно, его влияние на результативный признак Y также незначительно.

С увеличением среднего уровня ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) (Х₁) на 1 % от его среднего уровня , средний уровень выработки продукции одного работника (У) увеличивается на 0,59 % от всего среднего уровня ; при повышении среднего уровня удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих Х₂)на 1 % , средний уровень выработки продукции одного работника (У) повышается на 0,19 % от всего среднего уровня.

Сравнивая значения и ранжируем Х_i по силе их влияния на У:

а) 0,59 ; б) 0,19.

Таким образом , ввод в действие новых основных фондов оказывает большую силу влияния на выработку продукции одного работника , чем число рабочих высокой квалификации ( в удельном весе от общей численности рабочих).

Скорректированный коэффициент детерминации определим по формуле:

Задача 39

В результате исследования зависимости среднедневной заработной платы У от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного Х по n территориям региона было получено линейное уравнение регрессии Исследуйте остатки данного уравнения регрессии на гетероскедастичность с помощью теста Голдфельда- Квандта на уровне значимости α , если остаточные суммы квадратов для первой и второй групп соответственно равны ; число степеней свободы остаточных сумм квадратов равны .

Дано: 25,30; 124,39; ; α = 0,01.

Решение

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков. Конкурирующая гипотеза – наличие гетероскедастичности остатков

Наблюдаемое значение критерия Фишера найдём по формуле:

= = 4,92

Найдём табличное значение критерия Фишера

( ; ; α ) = ( ; ; 0,01) =5,35.

Сравним наблюдаемое и табличное значение критерия Фишера :

Поскольку наблюдаемое значение 4,92 = F_табл= 5,35, то нулевая

гипотеза Но об отсутствии гетероскедастичности остатков принимается на уровне значимости α =0,01 .