Анализ устойчивости двойственных оценок

Теорема: В оптимальном плане двойственной задачи значение переменной численно равно частной производной оптимального значения целевой функции, (берется производная целевой функции и подставляются значения оптимального плана), как функции от объема ресурсов по данному аргументу, т.е.

Это равенство означает, что изменение значений b_i приводит к изменению значения Z_max, причем , , тогда .

Таким образом, если получено оптимальное решение задачи ЛП, то можно провести анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений свободных членов системы ограничений, оценить степень влияния изменений на значение целевой функции и определить наиболее целесообразный вариант изменений , т.е. определить интервал устойчивости (неизменности) двойственных оценок по отношению к возможным изменениям запасов ресурсов каждого вида .

Предельные значения (нижняя и верхняя границы) изменения каждого из ресурсов, для которых двойственные оценки остаются неизменными, определяются по формуле:

, где

- коэффициенты столбцов свободных переменных в оптимальном плане (коэффициенты структурных сдвигов), т.е. элементы обратной матрицы к базису оптимального плана;

- величина изменения i-го ресурса;

- величина уменьшения i-го ресурса;

- величина увеличения i-го ресурса;

- компоненты оптимального плана.

Проведем анализ устойчивости двойственных оценок оптимального решения предыдущей задачи.

Пример.

Оптимальное решение записано в последней симплексной таблице:

Базис	Сb	b	10	14	12	0	0	0
			A1	A2	A3	A4	A5	A6
A1	14	82	19/8	1	0	5/8	0	-1/8
A2	0	80	23/8	0	0	1/8	1	-5/8
A5	12	16	-3/4	0	1	-¼	0	¼
		1340	57/4	0	0	23/4	0	5/4
						y1*	у2*	y3*

и .

При расширении производства требуется определить выбор тех видов ресурсов, увеличение объемов которых позволяет наиболее эффективно организовать производство заданных видов продукции.

Определим границы устойчивости каждого из ресурсов по двойственным оценкам.

:

Таким образом, интервал устойчивости первого ресурса: , т.е. количество сырья первого вида может быть уменьшено в пределах 131,2 кг или увеличено в пределах 64 кг, но при этом оценка сырья не изменится.

:

Таким образом, интервал устойчивости первого ресурса: , т.е сырье второго вида может быть уменьшено в пределах 80 кг или увеличено произвольным образом, но при этом оценка сырья не изменится.

:

Интервал устойчивости третьего ресурса: т.е. количество сырья третьего вида может быть уменьшено в пределах 64 кг или увеличено в пределах 128 кг, но при этом оценка сырья не изменится.

Предположим, что произошло изменение ресурсов:

, , .

Несмотря на изменение объемов ресурсов, оптимальный план двойственной задачи остается неизменным . Определим, на сколько изменится оптимальный план производства.

.

Тогда максимальная прибыль при новых объемах производства будет равна

руб.

Определим новый план производства, для чего составим систему ограничений

Так как двойственные оценки y₁^* и y₃^* положительны, то сырье первого и третьего видов использовано полностью, поэтому можно перейти от неравенств к равенствам:

Это означает, что изменение объемов ресурсов привело к построению нового плана производства, реализация которого приведет к максимальной прибыли руб.