5. Понятие о неберущихся в конечном виде интегралах.

Для всякой непрерывной в интервале [a,b] функции f(x) существует функция F(x), производная которой в точности равна данной функции. Тем не менее не всегда оказывается возможным интеграл от элементарной функции выразить через элементарные с помощью конечного числа арифметических операций. К числу таких заведомо невыражающихся в «конечном виде» интегралов относятся и ряд других, которые часто называют «неберущимися». Важно подчеркнуть, что все эти интегралы реально существуют, но они лишь представляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы называем элементарными.

6. Интегрирование рациональных функций.

Классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные с помощью конечного числа арифметических действий, называются интегрируемыми в элементарных функциях. Известны сравнительно немногие классы функций, для которых имеется алгоритмы интегрирования. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций R(x) .

Напомним, что рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов . Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, например дробь

Неправильная дробь может быть представлена в виде целой части, интегрирование которой не представляет труда и остатка в виде правильной дроби. Это можно сделать делением «уголком»

x²+x+1

x³-2

x³+x²+x

-

x-1

-x²-x-2

-x²-x-1

-

-1

x-1 - целая часть, -1 - остаток

т.е.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен с действительными коэффициентами разлагается, и притом единственным образом, на действительные множители

(12)

Здесь - действительные корни многочлена, а квадратичные множители не имеют действительных корней и, следовательно, являются неразложимыми на действительные линейные множители. В разложении многочлена некоторые множители могут совпадать и тогда их можно объединить, вводя кратность множителей, например

P(x) = x³+4x²+4x = x(x²+4x+4) = x(x+2)²

В алгебре устанавливается, что каждому множителю вида в разложении знаменателя правильной дроби отвечает группа из k простых дробей:

каждому множителю группа из m простых дробей:

A_i , M_i, N_i - числовые коэффициенты. Таким образом, зная разложение (12) мы знаем знаменатели простых дробей, на которые разлагается заданная дробь:

(13)

Приводя правую часть (13) к общему знаменателю, который очевидно есть P(x), получим дроби, у которых знаменатели равны, а значит равны числители. Неизвестные коэффициенты в разложении (13) находят, приравнивая коэффициенты при различных степенях х многочлена Q(x) к соответствующим коэффициентам справа, – такой метод называют методом неопределенных коэффициентов. Итак, любую рациональную дробь можно разложить на простые дроби, которые интегрируются в конечном виде.

Пример 16.

Преобразуем подынтегральную функцию