3. Интегрирование методом замены переменной.

Метод замены переменной или подстановки является одним из самых эффективных приемов интегрирования и вытекает из свойства 3.

Пусть требуется вычислить , во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию u=u(x) , чтобы подынтегральное выражение представилось в виде

,

тогда достаточно найти интеграл

чтобы из него подстановкой u=u(x) получить искомый интеграл, т.е.

(9)

Рассмотрим частный случай замены переменной, если ∫ f(x)dx=F(x)+C, то

(8)

Действительно, , тогда

т.е. и функция оказывается первообразной

для f(ax+b).

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6.

Пример 7.

так как , то полагая , получим

При выборе подстановки , упрощающей подынтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель , дающий дифференциал новой переменной. В примере 7- это множитель

Приведем ряд примеров на вычисление интегралов, которые заменой переменной сводятся к табличным.

Пример 8.

полагаем тогда и

.

Пример 9.

Замена подставляя новую переменную в исходный интеграл, получим

Пример 10.

В состав подынтегрального выражения входит множитель , являющийся

дифференциалом функции lnx , отсюда подстановка u=lnx , du=d(lnx) т.е.

Пример 11.

Подстановка x³ = u, du=3x²dx сводит искомый интеграл к другому интегралу, который является табличным.

ΩΩΩ

Интегрирование дробей, содержащих квадратный трехчлен

(10)

при условии, что квадратный трехчлен x² +px+q не имеет действительных корней .

Для вычисления интеграла из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат двучлена т.к. , то подстановка приводит к следующей замене

Искомый интеграл принимает следующий вид:

Первый интеграл аналогичен интегралу из примера 8, второй табличный

/формула 6/.

Пример 12.

Выделяем полный квадрат x² +4x+10=(x²+4x+4)+(10-4), делаем замену x+2=u, тогда 3x-1=3u-7, du=dx, подставляем в интеграл

4. Метод интегрирования по частям

Согласно свойству 4 вычисление интеграла может быть сведено к отысканию другого интеграла . Применение формулы целесообразно, если будет проще, чем или подобен ему. Для применения формулы интегрирования по частям к интегралу следует подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей u и dv . За dv выбирается выражение, которое содержит dx, и из которого v можно получить непосредственным интегрированием, за u , как правило, принимается функция, которая при дифференцировании упрощается, например lnx, arctgx и т.д.

Пример 13.

Примем за , тогда , подставляя в формулу (7), получим

Второй интеграл вычисляется подстановкой , окончательный результат

Пример 14.

Принимаем за , находим подставляем в (7)

Пример 15.

Пусть , тогда подставляя найденные значения в формулу (7), приходим к следующему интегралу:

Применим метод интегрирования по частям к интегралу полагая

т.е., вычисляя исходный интеграл, мы приходим к подобному в результате исходный интеграл равен: