2.4 Смешанное произведение.

Смешанное произведение трех геометрических векторов, обозначаемое как

( , , ) - это число ( ´ ) × . Вначале вычисляется векторное произведение = ´ , затем вектор умножается скалярно на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения : абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , , :

| ( , , ) | = V . (14)

·Пояснение. Это следует из формул (3),(13), так как | ( , , ) | = | × | =

=| | ×| | × | cos j | = S × H = V ; здесь S - площадь параллелограмма в основании параллелепипеда, j - угол между векторами и ;

| | × | cos j | = H - высота параллелепипеда. ·

Правило. Имеет место следующая формула для смешанного произведения векторов ( x₁; y₁; z₁) , ( x₂;y₂; z₂) , ( x₃; y₃ ; z₃ ) :

( , , ) = (15)

· Пояснение. Выражение для ( , , ) получается, если вектор (12) умножить скалярно на . Правая часть (12) есть сумма из 6 слагаемых. Рассмотрим одно из них : y₁ × z₂ × . При скалярном умножении на вектор заменяется на × = x₃ . Подобное рассуждение, примененное ко всем слагаемым в правой части (12), показывает, что формулу (15) можно получить заменой , , в (12) на x₃, y₃, z₃ . ·

Применения смешанного произведения в геометрии.

1) Объем параллелепипеда - формула (14).

2) Объем треугольной пирамиды A₁A₂A₃A₄ :

V = 1/ 6 × | | .

3) Векторы , , образуют базис в трехмерном пространстве, если ( , , )¹0.

Тема 3. Линии и поверхности первого и второго порядка. Основные формулы

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятие уравнения линии на плоскости / поверхности в ространстве…1

2. Уравнение прямой на плоскости ……………………...2

3. Применение: линейное интерполирование функций……………...3

4. Линейные неравенства. Графический метод линейного

программирования………………………………………………………..4

5 .Уравнение плоскости в пространстве………………………………..5

6 Уравнение прямой в пространстве………………………….6

7. Плоские линии второго порядка…………………………....7

8. Поверхности второго порядка………………………………8

1. Понятие уравнения линии на плоскости / поверхности в пространстве.

Если некоторая линия на плоскости состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению для двух переменных x, y, то это уравнение называется уравнением (данной) линии.

Например, каноническим (т.е. стандартным) уравнением окружности с центром в точке M₀ ( x₀ ; y₀ ) и с радиусом R является

( x - x₀ ) ² + ( y - y₀ ) ² = R ² . (1)

Это - уравнение 2-й степени ( или 2-го порядка). Так как левая часть этой формулы

( в силу формулы (10) на стр.16) есть квадрат расстояния от точки M ( x ; y ) до центра M₀ окружности, то равенство (1) есть формульное выражение того факта, что окружность состоит из всех точек M на плоскости с расстоянием R до центра M₀ .

Типовая задача аналитической геометрии: для заданной линии составить уравнение (и по возможности записать его в канонической форме). Однако решать это уравнение, как правило, не требуется.

По аналогии, если некоторая поверхность в пространстве состоит из всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению для трех переменных x, y, z, то это уравнение называется уравнением (данной) поверхности.

Например, каноническим уравнением сферы с центром в точке M₀( x₀ ; y₀ ; z₀ ) и с радиусом R является следующее уравнение 2-го порядка:

( x - x₀ ) ² + ( y - y₀ )² + ( z - z₀ ) ² = R ² . (2)