2.Скалярное произведение.

Скалярное (т.е. числовое) произведение двух геометрических векторов

и определяется как произведение длин этих векторов и косинуса угла между ними:

= | | × | | × cos j , (3)

где | | и | | - длины (модули, абсолютные величины) векторов, а j - угол между векторами. Скалярное произведение можно выразить через (числовую) проекцию Пр вектора на вектор :

= | | × Пр . (4)

В частности, длина вектора связана со скалярным произведением :

= | | ² . (5)

Механическое истолкование скалярного произведения : - это работа, которую производит источник силы при перемещении предмета на вектор .

(Например, источники силы трения производят отрицательную работу и, значит,

приобретают энергию - нагреваются; в этом примере cos j < 0 . )

Свойства скалярного произведения: 1) = ; 2) ×(k ) =

=k (k – число) ; 3) × ( + ) = + × .

Свойства 2) и 3) получаются из формулы (4) и соответствующих свойств проекций. Они означают, что при скалярном умножении векторов скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например, (2 -3 ) × = 2 × – 3 × .

Из определения (3) легко вывести «таблицу» скалярного умножения ортов , , :

× = × = × = 1 , × = × = × = × = × = × = 0 .

Разлагая векторы и по ортам и используя «таблицу» скалярного умножения ортов, получаем.

Правило. Имеет место алгебраическая формула для скалярного произведения

векторов (x₁; y₁; z₁) и ( x₂ ; y₂ ; z₂ ) :

× = x₁ × x₂ + y₁ × y₂ + z₁ × z₂ . (6)

Применения скалярного произведения в геометрии .

1) Длина вектора ( x; y; z) :

ï ï = ( x² + y² + z² ) ^{1 / 2} (7)

( это - следствие формул (5) и (6) ).

2)Расстояние между двумя точками A₁ и A₂:

ï ï =( (x₂ - x₁)² +( y₂ - y₁)² +(z₂ - z₁)²)^1/2. (8)

3)Косинус угла между двумя векторами и :

cos j = × / ê ê× ê ê. (9)

4)Если два (ненулевых) вектора и перпендикулярны (ортогональны),то

× = 0 . И наоборот. (Слово orthogonal переводится как «прямоугольный» ).

Замечание. В задачах, в которых фигурируют только точки и векторы на координатной плоскости Oxy, координата z (равная нулю) не пишется. В этой ситуации применяют формулы, аналогичные (6)-(9). Например, расстояние между двумя точками теперь вычисляется по формуле

| A₁A₂ | = ï ï = ( ( x₂ - x₁ )² + ( y₂ - y₁ )² ) ^{1/ 2} . (10)