5. Непрерывность функции в точке

5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции

Определение 5.1. Функция а, определенная на интервале (а, в) называется непрерывной в точке х_оÎ(а, в) 

 

Р ис.5.1.

Или, если ввести следующие обозначения :

  x = x₀  -  x,   y = f(x) - f(x₀)

x - приращение аргумента;

y - приращение функции.

         Пусть  y = f(x), где х - текущая точка из области определения.

                         Рис.5.2.

Определение 5.2. Функция f(x), определенная на Х, называется непрерывной в точке х = х_о (х_оÎХ).

1) функция в этой точке определена;

2) при Dх = х_о - х ® 0 и ,

т.е. функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

f(x) - непрерывна в точке х₀ Û " e>0 $ d>0 : çx-x₀ç<d , т.е. 0<çDx ç<d , çf(x)-f(x₀)ç=çf(x₀+Dx)-f(x₀)½<e. 

Определение 5.3. Функция называется непрерывной на данном множестве Х, если

1 ) она определена на этом множестве, т.е. " х Î Х $ f(x) ;

2) непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. " х Î Х справедливо.

Определение 5.4. Точка, в которой нарушается непрерывность функции,

называется точкой разрыва этой функции.

Пусть х₀ - точка разрыва функции f и существуют конечные пределы

f(x₀-0)= , f(x₀+0) =

тогда точка х называется точкой разрыва первого рода.

Величина f(x₀+0) - f(x₀-0) называется скачком функции f в точке х.

         Если f(x₀-0)=f(x₀+0), то х называется точкой устранимого разрыва.

         Если доопределить функцию таким образом, что

         f(x₀)= = , то получим непрерывную функцию.

         Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, н азывается точкой разрыва второго рода. Таким образом, в точках второго рода по крайней мере один из пределов не существует 

    , .

    Рис.5.3

5.2. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 5.1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.

Теорема 5.2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

 С л е д с т в и е. Целый полином    Р(х)=а₀+а₁х+... +а_nхⁿ  есть функция непрерывная.

Теорема 5.3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.

Теорема 5.4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Теорема 5.5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке а,b ,  то существует обратная функция х = (y), определенная на промежутке < f(a), f(b) >, причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.

Пример.  Рассмотреть обратные функции к данным:

                   а)   ;    б)  .

         Рассмотрим теперь непрерывность функции на множествах.

Определение 5.5. Пусть f определена на множестве Е Ì Rⁿ . Функция f называется непрерывной в точке х⁽⁰⁾ Î Е, если " e>0 $ d=d(e) :

" х Î Х , удовлетворяющих условию r(х, х⁽⁰⁾) < d выполняется неравенство

çf(x)- f(x⁽⁰⁾) ç < e .

         Примем без доказательства ряд простых, но важных теорем.

Теорема 5.6. (Кантора) Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, является равномерно непрерывной.

Определение 5.6. Функция у = f(х), определенная на множестве Е Ì Rⁿ называется равномерно непрерывной на Е, если

" e > 0 $ d = d(e)>0 : " x^/, x^// Î E

удовлетворяющих условию r(x^/,x^//)<d будет выполнено неравенство çf(x^/) - f(x^//) ç< e .

Теорема 5.7. (Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Теорема 5.8. (Коши) Если f - непрерывна на [a, b] и f(b)  = A, f(b) = B, то

    A < C < B         [a, b]  :   f() = C.

С л е д с т в и е. Если f - непрерывна на [a, b], а на концах отрезка принимает значения переменных знаков (является знакопеременной), то     точка х₀  [a,b]  :    f(x₀) = 0.