2.4. Неявные функции

( Один из способов задания функции )

Определение 2.4. Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением вида: F(x,y) = 0, т.е.  задана функция  F(x,y) двух вещественных аргументов x и y (если они существуют), для которых выполняется (.

         Чтобы выразить функцию y в явном виде, достаточно разрешить относительно y. Так как  для данного значения аргумента х уравнение может иметь несколько  (и даже бесконечное множество) корней y, то в общем случае неявная функция является многозначной.

Например, функция у (у>0), определяемая уравнением , является неявной. Явно заданная функция будет иметь вид: .

2.5. Сложные функции

 ( Один из способов задания функции )

         Пусть заданы две функции ,  , причем область задания функции F содержит область значений функции , тогда  из этой области определения  ставится в соответствие , где . Эта функция, определенная соответствием , называется сложной функцией, или суперпозицией функций  и F.

 Примеры:

                     1. ;

                     2. .

                          - явно задана.

2.6. Элементарные функции и их классификация

         Функции:

                                                                  - степенная;

                                                     - показательная;

                                       - логарифмическая;

                                                            - тригонометрические;

                                                       -обратные тригонометрические;

                                                   - постоянная.

 

 Называются основными элементарными функциями.

Замечание.

         Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией.

         Элементарные функции обычно делят на классы:

         1. Многочлены (полиномы) - это функции вида:

       .

Если , то число  называется степенью данного полинома.

При  многочлен первой степени и называется линейной функцией;

 

         2. Класс рациональных функций:

             , где  - полиномы;

 

         3. Алгебраические функции:

Функции, заданные с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных с рациональными показателями и четырех арифметических действий, называются алгебраическими.

Например:

                              .

 

2.7. Трансцендентные функции.

         Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями.

         Функции вида:

                           - показательная;

                     - логарифмическая;

                                    - тригонометрические;

                             - обратные тригонометрические).

  

    

 

3. Числовая последовательность

Числовая последовательность– функция вида а= f(x), x  N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается а = f(n) или а₁, а₂,…, а_n,…. Значения а₁, а₂, а₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например: a_n = n²

a₁ = 1² = 1;

a₂ = 2² = 4;

a₃ = 3² = 9;…a_n = n²

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

a_n = f(n).

Пример 3.1. a_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 3.2. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 3.3. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. В таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие.

Пример 3.4. a₁ = 3; a_n = a_n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь a₁ = 3; a₂ = 3 + 4 = 7; a₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность можно задать аналитически: a_n = 4n – 1.

Свойства числовых последовательностей. Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {a_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

a₁ < a₂ < a₃ < … < a_n < a_n+1 < ….

Определение. Последовательность {a_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

a₁ > a₂ > a₃ > … > a_n > a_n+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство a_n = a_n+T . Число T называется длиной периода.

Пример 3.6. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {a_n}, заданная рекуррентно соотношениями

a₁ = a, a_n = a_n–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

(a и d – заданные числа).

Пример 3.7. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 1, d = 2.

Пример 3.8. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение a_n через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b_n}, заданная рекуррентно соотношениями

b₁ = b, b_n = b_n–1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b  0, q  0).

Пример 3.9. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 3.10. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3.11. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b₁ > 0, q > 1, и убывающей, если b₁ > 0, 0 < q < 1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b₁², b₂², b₃², …, b_n²,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b₁², а знаменатель – q².

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

b_n = b₁q^n–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда a  1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S_n = a₁n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности. Пусть есть последовательность {c_n} = {1/n}. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:

.

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа  найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от ), что для всех n  N будет выполнено неравенство |a_n – A| <, то говорят, что последовательность {a_n} сходится и A – ее предел.

Обозначается это так: .

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c_n} = {1/n}. Пусть  – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n  N выполняется неравенство 1/N <  ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/, то для всех n  N выполняется неравенство 1/n  1/N <  , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 3.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3.3. Если последовательность {a_n} имеет предел A, то последовательности {ca_n}, {a_n + с} и {| a_n|} имеют пределы cA, A + c, |A| соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 3.4. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pa_n + qb_n} имеет предел pA + qB.

Теорема 3.5. Если последовательности {a_n} и {b_n}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a_nb_n} имеет предел AB.

Теорема 3.6. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b_n  0 и B  0, то последовательность {a_n / b_n} имеет предел A/B.