2. Функция
2.1. Понятие функции
Пусть заданы два
множества Х и Y. Если каждому элементу
х
Х
поставлен в соответствие один и только
один элемент у
У
, обозначаемый f(х), и если каждый элемент
у
У
при этом оказывается поставлен в
соответствие хотя бы одному элементу
х
Х,
то говорится, что на множестве Х
задана однозначная
функция
у = f(х). Множество Х называется областью
ее определения,
а множество Y - множество
ее значений.
Элемент х
Х
называется аргументом
или независимой
переменной,
а элементы у
Y
- значениями
функции,
или зависимой
переменной..
Рис. 2.1.
Элементы х и у рассматриваемых множеств могут иметь совершенно произвольную природу. Если значениями функции являются не числа, а другие элементы, часто вместо слова “функция” употребляют слово “отображение”.
Для того, чтобы задать функцию f, надо знать:
1. Х - область определения (существования);
2. Y - область значений;
3. Закон соответствия, по которому определяется элемент у Y, соответствующий х Х.
2.2. Способы задания функций.
1. Если функция задана выражением при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически, Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.
Например,
.
Здесь
-
это совокупность действий, которые
нужно выполнить в определенном порядке
над значениями аргумента х,
чтобы получить соответствующее значение
функции y
(или, то же самое,
).
Примеры:
1.
2. Функция Дирихле:
3.
2. Функцию можно задавать таблично, т.е. для некоторых значений х указать соответствующие значения переменной y.
X |
x1 |
x2 |
... |
xi |
... |
xn |
Y |
y1 |
y2 |
... |
yi |
... |
yn |
Данные такой таблицы могут быть получены как экспериментально, так и с помощью математических расчетов.
Примерами табличного задания функций могут быть: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций.
3. Аналитический и табличный способы задания функций страдают отсутствием наглядности.
(*)
Рис. 2.3. |
Графический
способ
задания функции - это геометрическое
место точек на плоскости с координатами
.
2.3. Понятие функции нескольких переменных.
Рассмотрим вещественные функции, определенные на множестве n-мерного евклидового пространства Rn, значениями которого являются вещественные числа.
Эти функции
обозначаются одним символом, например,
или
указывая аргумент – f(x) ,
или
и
называются функциями многих переменных.
Здесь переменные
называются
независимыми переменными или аргументами.
Совокупность рассматриваемых их
значений - областью определения
(областью существования).
Областью существования функции двух переменных (х и y), вообще говоря, представляет собой некоторое множество точек плоскости Oxy, т.е.
.
Аналогично
для
n=3.