3. Плоскость и прямая в пространстве.

3.1. Уравнение поверхности в пространстве.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве представляет собой три перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями. Координатами точки M₀(x₀,y₀,z₀) называются координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.

Уравнением поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и только они.

3.2. Плоскость в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору =(А,B,C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор называется нормальным вектором плоскости. Для произвольной точки плоскости M(x,y,z) («текущей точки») векторы = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) и должны быть перпендикулярны. Следовательно,

скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. ( , )=0. Полученное уравнение представим в координатной форме:

А (x- x₀) + В(y- y₀) + C(z- z₀) = 0. (18)

У

M0

M

равнение (18) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору = (А,B,C) и проходящей через данную точку M₀(x₀,y₀,z₀) (рис. 9).

П

Рис. 9

y

x

0

ример 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(-1,0,2) и перпендикулярной вектору = (2,5,-1).

Решение. Искомое уравнение имеет вид 2(x+1)+5(y-0)-1(z-2)=0. ■

Уравнение плоскости, записанное в виде

Аx + By + Cz + D = 0 (19)

(где D = - Аx₀ - By₀ - Cz₀), называется общим уравнением плоскости. Так, в предыдущем примере уравнению можно придать вид 2x+5y-z+4=0.

Замечание. Всякое уравнение вида (19) (где хотя бы одно из чисел А, В, С не равно нулю) задает плоскость в пространстве и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Отметим, что уравнение ( , )=0 можно применить для вывода уравнения плоскости в пространстве, заданной тремя точками M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащими на одной прямой. Так, взяв в качестве нормального вектора = - векторное произведение на , а в качестве M₀ точку M₁, получим

( , ) = 0,

что приводит к уравнению плоскости в форме определителя:

. (20)

В частности, если плоскость не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M₁ (a,0,0), M₂ (0,b,0), M₃ (0,0,c), то уравнение (20) приводится к виду

, (21)

называемому уравнением плоскости «в отрезках».

Рассмотрим далее частные случаи общего уравнения плоскости.

Если D=0, то уравнение Аx+By+Cz=0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора = (А,B,C). Так, например, если А=0, то уравнение By+Cz+D=0 определяет плоскость, параллельную оси Ox (и проходящую через ось Ox, если D=0); если А=B=0, то уравнение Cz+D=0 определяет плоскость, параллельную плоскости Oxy (в частности, z = 0 - уравнение самой плоскости Oxy).

Двугранный угол между двумя плоскостями, заданными своими общими уравнениями

А₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

А₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, (22)

равен углу j между их нормальными векторами =(А₁,B₁,C₁) и = =(А₂,B₂,C₂) и определяется по формуле

cosj = = ; (23)

угол j лежит в пределах от 0 до p; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен p -j.

Пример 17. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями 3x-y-2z+250=0 и x-2y+z-111=0.

Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами =(3,-1,-2) и =(1,-2,1):

cos j = = ;

отсюда j=arccos . Другой двугранный угол равен 180°-71°=109°. ■

Две данные плоскости (22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы =(А₁,B₁,C₁) и =(А₂,B₂,C₂) перпендикулярны между собой, откуда скалярное произведение ( , )=0 или =0. Например, плоскости 3x-y+2z-31=0 и 5x+3y-6z+1=0 перпендикулярны, так как 3×5+(-1) ×3+2×(-6)=0. Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, т.е. при выполнении условия .

Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1,-1,0) и параллельной плоскости 2x+3y-4z-1=0.

Решение. Так как у параллельных плоскостей один и тот же нормальный вектор =(2,3,-4), то искомое уравнение имеет вид 2(x-1)+3(y+1)-4(z-0)=0 или 2x+3y-4z+1=0. ■

3.3 [кроме ФЭУ] .Прямая линия в пространстве.

Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений F(x,y,z)=0, F(x,y,z)=0 как пересечение двух поверхностей, задаваемых этими уравнениями.

Так, прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе

Если прямая в пространстве параллельна вектору = (а₁, а₂, а₃) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀), то её уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) (где M(x,y,z) - произвольная точка прямой) и = (а₁, а₂, а₃):

. (24)

Уравнения (24) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 19. Составить уравнения прямой, проходящей через точки M₀(1,-1,3) и M₁(0,3,5).

Решение. Воспользуемся уравнениями (24), взяв в качестве направляющего вектора = (0-1,3-(-1),5-3) или = (-1,4,2):

.