8. Поверхности второго порядка.

Здесь перечислены классы поверхностей, соответствующих нераспадающимся уравнениям второй степени. Эллиптический тип: эллипсоид, в частности, сфера.

Гиперболический тип: двухполостный гиперболоид, однополостный гиперболоид, конус 2-го порядка. Параболический тип: эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Цилиндрический тип: эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.

Дополнение к тЕмЕ 3. Линии и поверхности первого и второго порядка. Практический материал

СОДЕРЖАНИЕ

1. Прямая линия на плоскости. …………………………………………...…..3

2. [кроме ФЭУ] Кривые второго порядка………………...……………..……8

3. Плоскость и прямая в пространстве….…………………………………...13

4. [кроме ФЭУ] Поверхности второго порядка………..…..…………….….16

1. Прямая линия на плоскости.

1.1. Уравнение линии на плоскости.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет из себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями - осью абсцисс Ох и осью ординат Оy.

Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 (или y=j(x)), связывающее две переменные величины x и y. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты (x,y) любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

1.2. Различные виды уравнения прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени

Ax + By + C = 0 (1)

(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Возможны следующие случаи:

1. С = 0, уравнение имеет вид Ax + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2. В = 0 (А ¹ 0), уравнение принимает вид Ax + C = 0 или x = - прямая, параллельная оси Oy (в частности, x = 0 - уравнение самой оси Oy);

3. А = 0 (В ¹ 0), уравнение принимает вид Вy + C = 0 или y = - прямая, параллельная оси Ox (в частности, y = 0 - уравнение самой оси Ox).

З

Рис.1

y

y

M

3

амечание. Для построения прямой, заданной общим уравнением, достаточно указать любые две ее точки.

П

N

ример 1. Определить точки пересечения прямой 3x - 4y + 12 = 0 с координатными осями и построить эту прямую.

Р

x

0

-4

ешение. Полагая x = 0, находим y = 3; таким образом, получена точка М(0,3) пересечения

прямой с осью Oy. При y = 0 значение x = -4 и N(-4,0) - точка пересечения прямой с осью Ox. Осталось провести прямую через точки М и N (рис. 1). ■

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

, (2)

где a = и b = есть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях. Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках». Эта форма уравнения прямой особенно удобна для построения прямой на чертеже. Так, в предыдущем примере, после записи уравнения прямой в виде , легко определить координаты точек М и N.

Рассмотрим на плоскости xOy прямую, не параллельную оси Oy; при движении вдоль такой прямой в одном направлении x возрастает, а в другом убывает. Направление, отвечающее возрастанию x, назовем положительным. Угол a, на который надо повернуть положительную полуось Оx, чтобы совместить ее с положительным направлением данной прямой, называют углом наклона прямой к оси абсцисс. При этом угол наклона считается положительным, если положительную полуось Оx надо поворачивать против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, так что < a < . Можно считать, что для прямой, параллельной оси Оy, угол наклона a = .

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Оx:

k = .

Замечание. Прямая, параллельная оси Оy, не имеет углового коэффициента, т.к. не существует; или можно считать, что ее угловой коэффициент равен бесконечности, т.к. при a ® ® ¥.

Если прямая не параллельна оси Оy, то ее уравнение можно записать в виде

y = kx+b. (3)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент; b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оy, считая от начала координат. В частном случае, при b = 0 прямая y = kx проходит через начало координат.

Из общего уравнения прямой (1) при В¹0 можно получить уравнение y = , т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом k = .

Пример 2. Найти угол наклона к оси Оx прямой, заданной общим уравнением 2x + 5y + 17 = 0.

Решение. Выразим из данного уравнения y. Получим уравнение прямой с угловым коэффициентом y = . Откуда, k = = -0,4, так что = -0,4. Искомый угол a = . ■

Рассмотрим далее решение некоторых типовых задач.

Задача 1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

П

M1

M2

y

y2

y1

x

x2

x1

0

усть имеются две точки М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂). Из геометрических соображений (рис. 2) угловой коэффициент искомой прямой равен . Подставим полученное значение k в уравнение (3): y = x +b.

Рис. 2 Учитывая, что прямая проходит через точку М₁(x₁,y₁), а, значит, ее координаты удовлетворяют искомому уравнению прямой, находим

b= y₁ - x₁.

Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записываем в виде

= . (4)

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1,2) и В(-1,3).

Решение. Искомое уравнение, согласно (4), имеет вид , откуда x + 2y - 5 = 0. ■

Задача 2. Угол между двумя прямыми.

Пусть даны уравнения двух прямых (не параллельных оси Oy) y=k₁x+b₁ и y = k₂x+b₂, причем, k₁ = и k₂ = (k₁ < k₂). Тангенс угла j

м

y

y=k1x+b1

y=k2x+b2

φ

ежду положительными направлениями этих прямых (0 < j < p) можно определить из соотношения (рис. 3)

α1

α2

Рис. 3 = = = . (5)

x

0

Замечание. Очевидно, второй угол, образованный прямыми, равен p -j.

Пример 4. Найти угол между положительными направлениями прямых y = 2x + 51 и y = 3x - 19.

Решение. Здесь k₁ = 2, k₂ = 3, k₁ < k₂. По формуле (5) = = ; искомый угол j = . ■

Пример 5. Найти углы между прямыми y = x - 6 и x = 2.

Решение. Здесь пользоваться формулой (5) невозможно, т.к. прямая x = 2 не имеет углового коэффициента. Так как угол наклона первой прямой к оси Ox может быть найден из определения углового коэффициента: = и j=60°, то угол между положительным направлением этой прямой и положительной полуосью Oy равен 90°-60°=30°. Следовательно, и один из искомых углов равен 30° (другой угол равен 180°-30°=150°). ■

Задача 3. Использование условия перпендикулярности двух прямых.

Даны две прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂. Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. a₂ =a₁ + 90°. Тогда = = = = . Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие или k₁k₂ = -1.

Пример 6. Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой y = - x + 1.

Решение. Так как k₁ = - , то k₂ = , т.е. = . Отсюда находим a₂ =30°. ■

Задача 4. Использование условия параллельности двух прямых.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k₁= k₂, так как у параллельных прямых углы наклона к оси абсцисс одинаковы.

Замечание. Если прямые заданы общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0, то вместо формулы (5) для вычисления угла j между этими прямыми можно пользоваться формулой:

= . (6)

Из формулы (6) видно, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых в этом случае имеет вид А₁А₂+ В₁В₂ = 0, а условием параллельности является равенство .

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,-3) параллельно прямой y = 2x - 20.

Решение. В искомом уравнении прямой y=kx+b угловой коэффициент k равен 2. Учитывая, что прямая проходит через точку М₀, находим b: -3 = 2×1 + b; b = -5. Искомое уравнение прямой y = 2x - 5. ■

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.

M1(x1,y1)

y

Найти расстояние d от данной точки М₁(x₁,y₁) до данной прямой l Ax+By+C=0 можно по формуле (рис. 4):

d

l

d= (7)

M2(x2,y2)

x

0

Точка М₂(x₂,y₂) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁(x₁,y₁) на прямую. Угловой коэффициент прямой М₁М₂ равен = .

Координаты точки М₂(x₂,y₂) находим из Рис. 4

решения системы уравнений

(8)

Введем замену: u = x₂ - x₁; v = y₂ - y₁. Тогда (7) и (8) можно записать в виде

d= ; (9)

Au + Bv + Ax₁ + By₁ + C = 0;

Au - Bv = 0.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

u = - ;

v = - .

Подставив эти значения в (9), получим

d= = . (10)

Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3x-2y-9 = 0.

Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):

d= = = . ■