7.Плоские линии второго порядка.

Линия второго порядка на плоскости удовлетворяет уравнению второй степени общего вида

a₁₁ x² +2 a₁₂ x y +a₂₂ y² +b₁ x+b₂ y + c = 0 , (16)

где хотя бы один из коэффициентов a₁₁, a₁₂, a ₂₂ не равен нулю. Принято исключать

из рассмотрения т.наз. распадающиеся уравнения, когда левая часть в (16) является произведением двух выражений 1-й степени по x и y. Распадающиеся уравнения описывают либо одну прямую ( например, уравнение x² = 0), либо пару прямых (например, уравнение x× y = 0). Далее рассматриваются только нераспадающиеся уравнения, которым соответствуют искривленные линии.

С помощью поворота системы координат можно перейти к новым координатах, в

которых уравнение вида (16) упрощается, а именно, отсутствует слагаемое вида 2 a₁₂ x y. Последующим сдвигом начала системы координат можно перейти к переменным, в которых уравнение линии еще более упрощается, а именно, отсутствует слагаемое вида b₁ x или b₂y, либо отсутствуют оба таких слагаемых. В результате выясняется, что существуют лишь три класса линий с нераспадающимся уравнением второй степени: эллипс, гипербола и парабола. Для каждого из этих классов имеется простейшая стандартная форма уравнения, называемая канонической.

1.Эллипс: каноническое уравнение

x² / a² + y² / b² = 1 (a > 0 , b > 0 ). (17)

Этот эллипс представляет собой овал, вписанный в прямоугольник со сторонами x = ± a , y = ± b . Центр данного эллипса совпадает с началом координат O, отрезки a и b называются полуосями эллипса ( вдоль координатных осей Ox и Oy, соответственно) , точки ( ± a; 0) и (0; ± b) называются вершинами эллипса. При

a = b = R эллипс переходит в окружность радиуса R с центром в начале координат O ( уравнение такой окружности x²+y²=R² ).

Уравнение (x-x₀)² / a² + (y-y₀)² / b² = 1 есть каноническое уравнение эллипса с центром в точке M₀(x₀; y₀) и с полуосями a и b вдоль координатных осей .

2.Гипербола: каноническое уравнение

x² / a² - y² / b² = 1 (a > 0 , b > 0 ) . (18)

Эта гипербола состоит из двух сплошных линий ( - связных компонент),

«описанных» около прямоугольника со сторонами x = ± a , y = ± b. Центр данной гиперболы совпадает с началом координат O, оси гиперболы совпадают с координатными осями, точки ( ±a; 0) называются вершинами гиперболы. Отрезок a (на оси Ox ) называется вещественной полуосью. Отрезок b (на оси Oy ) называется мнимой полуосью. Прямые y = ± (b / a) × x называются асимптотами гиперболы; к ним сколь угодно близко приближаются точки гиперболы при удалении от начала координат.

Уравнение (x-x₀)² / a² - (y-y₀)² / b² = 1 есть каноническое уравнение гиперболы с центром в точке M₀(x₀; y₀), вещественной полуосью a (в направлении оси Ox) и с мнимой полуосью b(в направлении оси Oy). Заметим, что часто встречающееся уравнение x×y = 1 ( или y = 1 / x ) есть также уравнение гиперболы, однако неканонического вида.

3.Парабола: каноническое уравнение

y = x² / 2p ( p > 0) . (20)

Вершина данной гиперболы - начало координат O, ветви направлены вверх.

уравнение y-y₀ =(x-x₀)² / 2p есть уравнение параболы с вершиной M₀(x₀;y₀) и с ветвями вверх.