5. Уравнение плоскости пространстве.
1-я ситуация. Известны одна точка M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) плоскости P и ненулевой вектор ( A ; B ; C ), перпендикулярный к этой плоскости (такой вектор называется нормальным вектором плоскости). для точек M(x; y; z) плоскости векторы и перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю:
А (x-x0) +B (y-y0)+C (z-z0 )=0. (11)
Вводя постоянную D = - A x0 –B y0 – C z0 , получаем общее уравнение плоскости в пространстве:
A x + B y + C z + D = 0. (12)
Это – линейное уравнение для трех переменных, причем хотя бы один из коэффициентов A ,B, C не равен нулю.
Для точек M
(x;
y;
z)
, не лежащих на плоскости P,
расстояние d
до плоскости
равно d
= |
A
x
+
B
y
+ C
z
+ D
|
/
(ср. с
формулой (5) ) .
Замечание. В дальнейшем (в теме 8) используется уравнение плоскости с двумя угловыми коэффициентами. Пусть в уравнении (11) С ¹ 0, тогда уравнение плоскости приобретает вид z-z0 =k1 × (x-x0 ) +k2 × (y-y0 ) , где k1 = -A / C, k2 = -B / C .
Коэффициенты k1 и k2 имеют следующий геометрический смысл: k1 (соответственно,
k2 ) есть угловой коэффициент прямой, состоящей из точек данной плоскости с постоянным значением y = y0 (соответственно, с постоянным значением x = x0 ).
Свойства нормального вектора плоскости. (а) Если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны (пропорциональны):
1 ´ 2 = 0. (б) Если две плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы
перпендикулярны: 1× 2 = 0. (в) Если a - угол между двумя плоскостями, то
cos a = | 1 × 2 | / | 1 | × | 2| .
2-я ситуация. На плоскости P известны три точки M0( x0; y0; z0 ),
M1(x1; y1; z1), M2(x 2 ; y2; z2) , не лежащие на одной прямой. Тогда уравнение
плоскости P записывается через определитель:
=0 .
(13)
·Пояснение.
Вектор
является
нормальным вектором плоскости P
( см. применения векторного произведения
в геометрии ).
Для точек M(x;
y;
z)
векторы
и
ортогональны,
и их скалярное произведение равно нулю:
×
=
= 0. Теперь формула (13) следует из формулы
(15)
В частности, если известны три точки M0(a; 0; 0), M1(0; b; 0), m2(0; 0;c) плоскости, принадлежащие координатным осям Ox,Oy,Oz, соответственно, то пишут
так называемое уравнение плоскости в отрезках: x / a + y / b + z / c = 1 .
6. Уравнения прямой в пространстве.
1-я ситуация. Известны точка M0(x0; y0; z0) на прямой L в пространстве и ненулевой вектор (l; m; n), параллельный прямой ( он называется направляющим вектором прямой).Тогда координаты точек прямой удовлетворяют уравнениям, называемым каноническими уравнениями прямой в пространстве:
(14)
·Пояснение. Эта ситуация аналогична 2-й ситуации в п. 3.2. Для точек M(x; y; z)
прямой L вектор коллинеарен вектору и потому пропорционален ему :
= t × . Записывая это через координаты векторов, получаем параметрические уравнения прямой в пространстве: x-x0 =t×l, y-y0= t×m, z-z0 =t×n. Исключая отсюда параметр t, получаем (14). Это – система двух линейных уравнений с тремя переменными. Может оказаться, что один из знаменателей в (14) равен нулю, например, l = 0. Тогда запись (x-x0) / 0=(y-y0) / m=(z-z0) / n является условной (ее
нельзя понимать буквально). В этом случае, привлекая снова параметрические
уравнения прямой, эту запись можно «расшифровать» так:
x-x0=0 , (y-y0) / m = (z-z0) / n . Может оказаться, что два знаменателя в (16) равны нулю, например, l = m = 0; тогда условная запись (x-x0) / 0 = (y-y0) / 0 = (z-z0) / n системы «расшифровывается» так: x-x0=0, y-y0=0 . ·
Свойства направляющего вектора прямой.
(а) Если две прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны. (б) Если a - угол между двумя прямыми, то cos a = | 1 × 2| / | 1| × | 2| . (в) Если j - угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью с нормальным вектором , то
sin j = | × | / | | ×| | .
2-я ситуация. Известны две точки M0(x0; y0; z0) и M1(x1; y1; z1) прямой L в пространстве. В этой ситуации вектор ( x1-x0; y1-y0; z1-z0) играет роль направляющего вектора (l; m; n) прямой L, и канонические уравнения прямой принимают вид
(15)