3.Применение: линейное интерполирование функций.

Пусть известно, что график некоторой функции y=f(x) на отрезке [a;b] незначительно отличается от отрезка прямой. Заменим график функции на отрезке отрезком прямой, соединяющей точки M₀( a; f(a) ) и M₁( b; f(b) ). Согласно (9),

уравнение этой прямой есть

Эту формулу называют линейной интерполяцией ( или линейным приближением)

данной функции на данном отрезке. На практике используют таблицу значений линейной интерполяции. Для этого отрезок [a; b] разбивают на некоторое число n

равных отрезков. Длина каждого отрезка (b-a) / n обозначается как Dx (знак D означает «изменение»). Когда x изменяется на величину D x, данная функция

в линейном приближении изменяется на величину

Таблица линейной интерполяции функции принимает следующий вид.

x0=a	x1 = x0 + D x	x2 = x1 + D x	…	x n = b
y0 = f( a )	y1 = y0 + D y	y2 = y1 + D y	…	y n = f( b )

4. Линейные неравенства. Графический метод линейного программирования.

Пусть в уравнении прямой (4) знак равенства заменен знаком неравенства ³ или £ ; соответствующее множество точек M( x; y) называется полуплоскостью.

Например, линейное неравенство y ³ 2 x + 3 описывает полуплоскость, состоящую

из всех точек на или выше ( левее) прямой y = 2 x + 3 . Аналогично, x ³ 0 - это

неравенство для полуплоскости, состоящей из точек на или правее оси Oy .

Системы линейных неравенств находят применение в так называемых задачах линейного программирования. Рассмотрим конкретный (двумерный) пример.

Пример. Пусть некоторое множество состоит из всех точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе линейных неравенств ( 10.а) – (10.д).

Все точки плоскости, удовлетворяющие данной системе неравенств, называются планами. Кроме того, задана линейная функция z = 2 x + 3 y, называемая целевой функцией. Задача ставится так: найти наибольшее значение ( максимум ) целевой функции на множестве планов. Также следует указать оптимальный план M₀ ( x₀ ; y₀ ) , на котором целевая функция принимает максимум. ( Аналогично формулируется задача на минимум целевой функции.)

Решение задачи графическим методом. Множество всех планов состоит из точек, удовлетворяющих сразу всем 5 условиям: эти точки расположены (a) на или ниже прямой y - x =2, (б) на или ниже прямой 3 y + x = 14, (в) на или выше прямой y - 3x= -12,(г) на или правее прямой x = 0,(д) на или выше прямой y = =0. Отсюда следует, что множество планов есть выпуклый 5-угольник OA₁A₂A₃A₄. Каждая его вершина находится на пересечении пары прямых, ограничивающих 5-угольник. Например, на пересечении прямых y - x = 2, x = 0 находится вершина A₁; на пересечении прямых y – x = 2 , 3 y + x = 14 находится вершина A₂. Аналогично определяются вершины A₃, A₄, O.

Множество точек M(x; y), на которых целевая функция принимает некоторое постоянное значение, называется линией уровня для z. Все линии уровня представляют собой параллельные прямые, задаваемые уравнениями 2 x +3 y =c.

Рассмотрим одну из этих прямых 2 x + 3 y = 0 (здесь c=0, целевая функция z

также равна 0). Это прямая L_O с угловым коэффициентом k = - 2 / 3.Другие линии уровня получаются параллельным перемещением прямой L_O . Этот сдвиг прямой можно производить с помощью линейки. При сдвиге линейки вправо (или вверх) значение c целевой функции увеличивается. Например, прямая L₁ - линия уровня, проходящая через вершину A₁. Линейку можно сдвигать вправо ( или вверх) до тех пор, пока на соответствующей линии уровня находятся точки 5-угольника. В итоге достигается крайняя точка, которая и будет оптимальным планом. Это - вершина 5-угольника, характеризуемая тем, что линия уровня, проходящая через нее, не имеет общих точек с внутренностью 5-угольника. В данном случае, как видно из рисунка, эта вершина есть A₃( 5; 3), координаты которой x₃ = 5, y₃ = 3 находятся из системы уравнений 3y + x = 14, y - 3x = -12. Значение целевой функции для этого плана есть z = 2 x₃+3 y₃=2 × 5 + 3 × 3 = 19. Ответ: z _max = 19, оптимальный план M₀ ( 5; 3 ).

Правило проверки. Существует простой числовой метод, который позволяет подобрать оптимальный план или проконтролировать правильность подобранного оптимального плана. Рассмотрим более общую целевую функцию z = a₁ x +a₂ y, для которой нужно найти максимум. По знакам чисел a₁ , a₂ уже можно указать те части границы многоугольника, где следует искать оптимальный план.

a1> 0 , a2> 0 : П Ç В

a1> 0,a2 < 0: П Ç Н

a1 < 0 ,a2> 0: Л Ç В

a1 < 0, a2< 0: Л Ç Н

Здесь П,Л,В,Н – это правая, левая, верхняя, нижняя части границы многоугольника. (Например, верхняя часть границы, В, состоит из всех верхних точек сечений многоугольника вертикальными прямыми.) Остановимся подробнее на двух случаях.

1-я ситуация. Пусть коэффициент a₂ > 0, тогда оптимальный план является вершиной на верхней части границы многоугольника планов. В рассмотренном примере верхняя часть границы – это ломаная линия A₁A₂A₃, выпуклая вверх. Угловые коэффициенты k₁₂и k₂₃ сторон A₁A₂ и A₁A₂ ломаной линии убывают при обходе верхней границы слева направо: k₁₂ > k₂₃ . Если угловой коэффициент k = - a₁/a₂ линии уровня z = c расположен на полуинтервале k ³ k₁₂ , то вершина A₁ -

оптимальный план. Если k₁₂ ³ k ³ k₂₃, то вершина A₂ –оптимальный план. Если k₂₃ ³ k, то вершина A₃ – оптимальный план.

Для 1-й ситуации «правило проверки» можно сформулировать так. Пусть

линия уровня проходит через оптимальный план (-одну из вершин верхней части границы). Запишем угловые коэффициенты сторон верхней части границы и линии уровня в том порядке, как проходятся эти стороны и вершина оптимального плана при обходе верхней части границы слева направо. Если полученные числа расположились в убывающем порядке (более общо: в монотонно не возрастающем порядке), то вершина оптимального плана выбрана правильно.

2-я ситуация. Пусть коэффициент в целевой функции a₁ > 0, тогда оптимальный план является вершиной на правой части границы многоугольника планов. В рассмотренном примере правая часть границы – это ломаная линия A₁A₂A₃, выпуклая вправо. Обратные угловые коэффициенты сторон ломаной линии убывает при обходе правой границы снизу вверх. Если обратный угловой коэффициент 1/k = -a₂ / a₁ таков, что 1/k ³ 1/ k₃₄, то вершина A₄ – оптимальный план. Если 1/ k₃₄ ³ 1/k ³ 1/k₂₃, то A₃ – оптимальный план. Если 1 / k_BC ³ 1/ k , то A₂ –оптимальный план.