2. Уравнение прямой на плоскости.

Предположим, что известна одна точка M₀ ( x₀ ; y₀ ) на некоторой прямой L на координатной плоскости Oxy, и известен ненулевой вектор ( A ; B ) , перпендикулярный к прямой ( он называется нормальным вектором прямой). Для любой точки M( x; y) прямой L векторы и перпендикулярны, и их скалярное произведение × равно нулю:

A × ( x - x₀ ) + B × ( y - y₀ ) = 0. (3)

Отсюда следует так называемое общее уравнение прямой на плоскости :

A x + B y + C = 0 . (4)

Это уравнение линейное (т.е. 1-й степени), поэтому прямую называют линией 1-го порядка. Числа A , B – коэффициенты уравнения, причем хотя бы одно из них не равно нулю, а число C обозначает постоянную величину -A x₀ - B y₀ в (3). Для точек M(x;y), не лежащих на прямой, расстояние d до прямой равно

d = |A x + B y + C | / (5)

·Пояснение. Пусть M₀ - произвольная точка плоскости, тогда

d=| Пр |=

=| × | / | | = | A(x-x₀) + B (y –y₀ ) | / | | = | Ax + By + C | / | | . · Различают прямые : (а) вертикальные, (б) невертикальные (горизонтальные или наклонные).

(а) Вертикальные прямые. Если в уравнении (4) B = 0, то уравнение принимает вид x = x₀ , где x₀ = - C / A есть постоянная величина.

(б) Невертикальные прямые. Если в уравнении (4) B ¹ 0,то уравнение прямой приводится к т. наз. уравнению с угловым коэффициентом

y = k x + b (6)

( k = - A / B, b = - C / B ) .Числа k и b определяют прямую, поэтому их называют параметрами прямой. Рассматриваемая прямая – график линейной функции. Чтобы изобразить ее, нужно на координатной плоскости отметить две точки, например, ( 0;b) при x =0 и (1 ; b + k ) при x =1, и соединить их с помощью линейки. Отсюда следует геометрический смысл k : k есть тангенс угла наклона j прямой L ( т.е. угла между прямой L и полуосью Ox₊ ) :

k = tg j (7)

( - 90° < j < 90° , - ¥ < tg j < + ¥ ) . Множитель k называется угловым коэффициентом прямой .

Свойства углового коэффициента. 1) Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны : k₁ = k₂ . 2) Если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением

k₂ = - 1 / k₁ . 3) Угол a между двумя прямыми на плоскости находится по формуле tg a = ( k₁ - k₂) / (1 + k₁ k₂ ) .

Рассмотрим три способа составления уравнения прямой в зависимости от исходных данных.

1-я ситуация. Известны одна точка M₀( x₀ ; y₀ ) на прямой и угловой коэффициент k прямой L.Тогда уравнение прямой пишется так:

y – y₀ = k × ( x – x₀ ) .

· Пояснение. В формуле (6) параметр k известен, а параметр b не известен. Чтобы исключить его из (6), учтем, что точка M₀ лежит на прямой: y₀ = k x₀ + b. Вычтем это уравнение из (6). Получим : y - y₀ = k ×( x - x₀ ) . ·

2-я ситуация. Известны одна точка M₀ ( x₀ ; y₀ ) на прямой L и ненулевой вектор ( l ; m) ,параллельный прямой (такой вектор называется направляющим ). В этой ситуации пишут так называемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

(8)

·Пояснение. Для точек M ( x ; y) на прямой L вектор параллелен вектору ,и значит, пропорционален ему: = t × . Множитель (переменная величина) t называется параметром на прямой. Запишем это в координатах: x - x₀ = t × l,

y - y₀ = t × m . ( это – т.наз. параметрические уравнения прямой на плоскости.) Исключая отсюда t, получим (8). Может оказаться, что один из знаменателей в (8) равен нулю, например, l = 0. Запись ( x – x₀ ) / 0 =( y- y₀) /m есть условность (ее нельзя понимать буквально) . Чтобы «расшифровать» ее, возвращаемся к параметрическим уравнениям прямой и получаем корректное уравнение данной прямой : x - x₀ = 0 .·

3-я ситуация. Известны две точки M₀( x₀ ; y₀) и M₁( x₁ ; y₁ ) на прямой L. Тогда уравнение прямой также пишется в каноническом виде, причем роль направляющего вектора ( l ; m) играет вектор ( x₁ – x₀ ; y₁ - y₀ ) :

(9)

В частности, если известны две точки M₀ ( a; 0) и M₁(0; b) прямой, принадлежащие координатным осям Ox и Oy, соответственно, то пишут так называемое уравнение прямой в отрезках: x / a + y / b = 1 .