52.Примеры задач по оптимизац. Параметров системы управления запасами и сбытом прод-и в сфере апк.
53.Модели теории массового обслуж-я, их значение в оптимизации функционир. процессов для ряда эконом. систем. Осн. признаком сист. мас. обслуж-я явл. наличие обслуживающей системы, кот. предназначена для осущ. действий, совершенных согласно требованиям (заявкам), которые поступают нерегулярным образом. Особенность — случайность. При этом имеются две взаимод. стороны — обслуживаемая и обслуживающая. Случ.поведение хотя бы одной приводит к случ. характеру процесса обслуживания . Источниками случ. взаимод.явл. случ.события двух типов. 1.Появление заявки на обслуживание. Напр, торговое обслуживание часто характеризуется большим числом, массой потенциальных покупателей и, как следствие, непредсказуемостью момента предъявления требования на обслуживание конкретным покупателем.
2.Окончание обслуживания очередной заявки. Напр, продолжит-сть ремонта оборудования зависит от характера неисправности.
Указанные случ. события сост. систему мас.обслуживания:
- входного потока заявок (требований) на обслуживание;
- выходного потока обслуженных заявок.
Одной из гл. целей
теории м/о. явл. исследование различ.
характеристик случ. состояния системы
м/ о. Знание таких характ-тик дает
специалисту информацию для выработки
направленного воздействия на эти
характеристики и, след., для управления
эффективностью процессов м/о .
В моделях м/о при описании потока поступающих требований и определении продолжительностей обслуживания требований, используется фундаментальное понятие теории вероятности, а именно распределение вероятности. Иначе говоря, оперируют понятиями «распределение моментов поступления требований» и «распределение времени обслуживания требований». Эти распределения вероятностей могут моделировать ситуации, когда требования поступают и обслуживаются индивидуально. Возможны такие ситуации, когда требования поступают и (или) обслуживаются группами. В последнем случае обычно говорят, что имеет место обслуживающая система с одновременным обслуживанием нескольких требований. Системы такого рода называют также обслуживающими системами с параллельно-групповым обслуживанием.
54.Характерные типы системы массового обслуживания (смо), показатели функционирования смо.
По числу каналов обслуживания - на одноканальные (с одним обс. устройством) и многоканальные (с большим числом обс. устройств).
В завис. от условий ожидания требованием начала обслуж. - СМО с отказами (потерями) и с ожиданием. В СМО с отказами требования, пост. в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и утрачиваются. В СМО с ожиданием треб., заставшее все обслуживающие каналы занятыми, ставится на очередь до освобожд. любого из обслуживающих каналов.
Системы с огранич. ожиданием и с неогранич. ожиданием. В системах с огр. ожид. может ограничиваться либо длина очереди, либо время пребывания в очереди.
По месту нахожд. источника требований - разомкнутые (источник треб. вне системы) и замкнутые (источник в самой системе).
Среднее число
треб., поступ. в с/о за ед. времени, назыв.
интенсивностью
поступления требований:
где
Т —
ср. значение интервала м/у поступл.
очередных требований. При простейшем
потоке треб., их распределение, подчиняются
закону распределения Пуассона: вероятность
того,
что в обс. систему за время t
поступит
именно k
требований
где
— ср. число
треб., пост. на обс. в ед. в.
Время обсл. одного
требования (
)
— случ.
величина, кот. может изменяться в большом
диапазоне. Она зависит от стабильности
работы самих обсл. устройств, так и от
разл. параметров, пост. в систему,
требований (к примеру, разл. грузоподъемности
трансп. ср-в).
Показательный закон распределения времени обс. имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Напр, когда основная масса треб. обслуживается быстро, а продолжит.- встречается редко.
Вероятность
события,
что время обсужив. продлиться не более
чем t,
равна
где
v
— интенсивность обс. одного треб. одним
обслуж. устройством, кот. определ. из
соотношения
,
где
—
среднее время обсл. одного требования
одним обслуживающим устройством.
При наличии
нескольких обсл. устройств одинаковой
мощности закон
распред. времени обсл. несколькими
устройствами будет
также показательным
где
n
— количество обслуживающих устройств.
Важным параметром
СМО явл.
коэффициент
загрузки
,
кот. опред. как отношение интенсивности
поступления требований
к
интенсивности обслуживания v
где
a —
коэф загрузки;
—
интенсивность поступления треб систему;
v —
интенсивность обсл. одного треб одним
обсл устройством. Следов, получаем,
выражение
55.Модели массового
обслуживания с отказами, их параметры.
При этом СМО
состоит только из одного канала (n = 1)
и на нее поступает пуассоновский поток
заявок с интенсивностью
,
зависящей, в общем случае, от времени
Заявка,
заставшая канал занятым,
получает отказ и покидает систему.
Обслуж. заявки продолжается в течение
случ. времени
,
распределенного по показат-му закону
с параметром
:
.
Из этого следует, что «поток
обслуживания»
— простейший, с интенсивностью
.
Требуется найти:
абсолютную пропускную способность СМО (А);
относительную пропускную способность СМО (q).
Рассмотрим единств.
канал обслуживания как систему S,
кот. может находиться в одном из двух
состояний:
—
свободен,
—
занят. Из состояния
в
систему,
очевидно, переводит поток заявок с
интенсивностью
;
из
в
—
«поток обслуживания» с интенсивностью
.
Вероятности состояний:
и
Очевидно,
для любого момента t:
Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согл. правилу, данному выше:
Для одноканальной
СМО с отказами вероятность
есть
не что иное, как относительная пропускная
способность q.
Действительно,
есть
вероятность того, что в момент t
канал свободен, или вероятность того,
что заявка, пришедшая в момент t,
будет обслужена. Следовательно, для
данного момента времени t
среднее отношение числа обслуженных
заявок к числу поступивших также равно
.
В пределе, при
,
когда процесс обслуживания уже
установится, предельное значение
относительной пропускной способности
будет
равно
.
Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением
Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа
или среднюю часть не обслуженных заявок среди поданных [15]:
.