Определение 5.4. Если а – атомная формула, то две литеры а и а называют контрарными, а множество {a , а} – контрарной парой.

Заметим, что если дизъюнкт содержит контрарную пару, то он является тавтологией. .Если дизъюнкт не содержит литер, то он называется пустым дизъюнктом, если он содержит одну литеру, то называется однолитерным дизъюнктом, а если содержит к литер – к-литерным дизъюнктом. Так как пустой дизъюнкт не содержит литер, которые могли бы быть истинны, то он всегда ложен. Пустой дизъюнкт обозначается .

Каждое множество дизъюнктов S, будем считать конъюнкцией всех дизъюнктов из S, где каждая переменная считается связанной квантором всеобщности. Тогда скулемовская стандартная форма может быть представлена множеством дизъюнктов.

Справедлива следующая

Теорема 5.1. Пусть S – множество дизъюнктов, представляющих Скулемовскую стандартную форму формулы F. Тогда F противоречива в том и только в том случае, когда S противоречиво.

Доказательство теоремы мы опустим.

Далее для множеств дизъюнктов будут использованы термины невыполнимо/выполнимо вместо противоречиво/непротиворечиво.

Метод резолюций для исчисления высказываний.

Основная идея метода резолюций состоит в том, чтобы проверить, содержит ли множество S пустой дизъюнкт . Если S содержит пустой дизъюнкт, то, как следует из предыдущего параграфа, S невыполнимо. Если S не содержит , то проверяется: может ли  быть получен из S? Метод резолюций можно рассматривать как специальное правило вывода, используемое для порождения из S новых дизъюнктов. Это правило вывода таково:

в том случае, если для любых двух дизъюнктов C₁и C₂ существует литера L₁ в С₁, которая контрарна литере L₂ в С₂ то, вычеркнув L₁ и L₂, из C₁ и C₂ , соответственно, можно построить дизъюнкцию оставшихся дизъюнктов, которая будет являться следствием С₁ и С₂. Эта последняя дизъюнкция называется резольвентой. Корректность этого правила вывода устанавливает следующая

Т еорема 5.2. Пусть даны два дизъюнкта С₁ и С₂. Тогда резольвента С дизъюнктов С₁ и С₂ есть логическое следствие С₁ и С_2.

Д оказательство. Пусть

г де С_a и С_b – дизъюнкции литер. Предположим, что С₁ и С₂ истинны в некоторой интерпретации I. Очевидно, либо L, либо L ложно в I. Пусть, например, L ложно в I. Тогда С_a должен быть истинен в I (иначе предположение об истинности С₁ неверно). Таким образом, резольвента, т.е.

и стинна в I. Аналогично можно показать, что если L ложно в I, то С_b должен быть истинен в I. Следовательно,

истинна в I, что требовалось доказать.

Пример 2.2.1.Рассмотрим множество дизъюнктов

Пример 2.2.2. Рассмотрим множество дизъюнктов

Из 1.и 2. получаем

4.

Из 3. и 4.получаем пустой дизъюнкт .

Лекция 6. Автоматизация дедуктивных рассуждений. Метод резолюций для исчисления предикатов первого порядка.

Как мы видели, наиболее существенным моментом в использовании метода резолюций является нахождение в дизъюнкте литеры, контрарной литере в некотором другом дизъюнкте. Если в исчислении высказываний это достаточно просто, то в исчислении предикатов, когда мы имеем дело с формулами, содержащими индивидные переменные, ситуация усложняется. Рассмотрим, например, дизъюнкты:

В С₁ не существует литеры, контрарной какой-либо литере из С_2. Однако, вспоминая, что все переменные в формулах P(x) и Q(x) имеют универсальную квантификацию и, подставляя f(x) в С₁ вместо х, получим

Э ти два дизъюнкта уже легко резольвировать; получим:

Если в С₁ и С₂ подставлять на места переменных другие подходящие термы, можно получать новые резольвенты С. Например, подставив a вместо х в С₂ и f(a) вместо х в С₁, получим резольвенту

Т аким образом, резольвента

является, в некотором смысле, наиболее общей по отношению ко всем другим, т.к. все иные резольвенты (в частности, предыдущая) являются ее примерами.

Из сказанного видно, что, получение резольвент из дизъюнктов часто требует подстановок.