9.4. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція диференційована на деякому інтервалі . Її диференціал є деякою функцією аргументу х. Але від х залежить тільки множник , а диференціал є приростом аргументу і від значення х не залежить. Таким чином, можна ставити питання про обчислення диференціала від функції .

Означення 9.3. Диференціал від диференціала функції називається другим диференціалом або диференціалом другого порядку цієї функції і позначається або .

З означення диференціала випливає, що:

.

Величина не залежить від х і ми винесли її за знак похідної. Замість прийнято писати , розуміючи під цим не , а .

Диференціал від другого диференціала називається третім диференціалом або диференціалом третього порядку і позначається або . Аналогічно другому диференціалу отримаємо

Диференціалом n-го порядку або n-м диференціалом називається диференціал від (n-1)-го диференціала:

або

.

За допомогою диференціалів різних порядків можна виразити відповідні похідні:

.

Приклад 9.5. Знайти диференціал третього порядку для функції

.

Розв’язування. З означення третього диференціала маємо

.

Знайдемо :

,

,

Таким чином,

9.5. Похідна другого порядку функції, заданої

Параметрично і неявно.

Покажемо на прикладі, як знаходити похідну другого порядку від функції, заданої неявно. Розглянемо неявно задану функцію:

Продиференціюємо дане рівняння по змінній х, маючи на увазі, що :

.

Виразимо з отриманої рівності похідну

. (9.3)

Рівність (9.3), де , знову диференціюємо по х:

В останній вираз підставимо першу похідну з (9.3):

.

Аналогічно можна знайти похідну будь-якого порядку від функції, заданої неявно.

А тепер знайдемо другу похідну від функції, заданої параметрично. Розглянемо функцію

. (9.4)

Нехай функція має обернену функцію . Як ми вже знаємо з попереднього розділу, перша похідна функції (9.4) має вигляд

.

Продиференціюємо останню рівність по змінній х:

.

Таким чином,

або

.

Аналогічно можна знайти похідні більш високих порядків.

Приклад 9.6. Знайти другу похідну функції , заданої параметрично

Розв’язування.

.

9.6. Механічний зміст другої похідної.

Нехай задано закон поступального руху . З підрозділу 7.3 відомо, що швидкість тіла в даний момент часу дорівнює похідній від переміщення s по t: . Якщо тіло рухається нерівномірно, то швидкість за час зміниться від значення ) до – .

Середнім прискоренням за час називається відношення приросту швидкості до приросту часу :

,

а середнім прискоренням в даний момент часу – границя цього відношення при :

,

або за означенням похідної:

.

Таким чином, прискорення прямолінійного руху дорівнює другій похідній від переміщення по часу t, тобто .

Приклад 9.7. Знайти швидкість і прискорення a тіла, яке рухається прямолінійно за законом (м/с )в момент часу .

Розв’язування. Знайдемо швидкість і прискорення а як функції часу t:

а тепер знаходимо їх значення при :