Розділ 9. ДИФЕРЕНЦІАЛ. ПОХІДНІ Й

Диференціали вищих порядків. Рівняння дотичної і нормалі.

9.1. Поняття диференціала і його властивості.

Розглянемо диференційовану на інтервалі (a,b) функцію . Її похідна в деякій точці х з інтервалу (a,b) визначається рівністю

.

Згідно з теоремою 3.1 відношення при можна подати у вигляді

,

де при . Помножимо останню рівність на :

. (9.1)

В загальному випадку , тому при сталому х і змінному , такому що , добуток є нескінченно малою величиною першого порядку відносно . А добуток є нескінченно малою величиною більш високого порядку відносно , тому що

.

Таким чином, приріст функції складається з двох доданків, перший з яких, лінійний відносно називається головною частиною приросту.

Означення 9.1. Головна частина приросту функції , тобто , називається диференціалом функції і позначається або .

Таким чином згідно з означенням

.

Для визначення змісту диференціала аргументу х знайдемо диференціал функції у=х:

.

Отже, диференціал аргументу х рівний його приросту , тобто . Диференціал функції тепер можна записати у вигляді

.

З останньої рівності можна отримати ще одне позначення для похідної:

.

Тобто похідну можна розглядати як відношення диференціала функції до диференціала аргументу.

Приклад 9.1. Знайти диференціал функції .

Розв’язування:

.

Відшукання диференціала рівносильне обчисленню похідної, оскільки, помноживши останню на диференціал аргументу, дістанемо диференціал функції. Тому більшість властивостей і формул, справедливих для похідної, справджуються й для диференціала.

Властивості диференціала.

Якщо і – диференційовані функції, то:

1. , де .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , де , то . Тобто диференціал складної функції має такий вигляд, якого б він отримав при незалежному проміжному аргументу u.

Доведення Вл. 4. З означення диференціала маємо

,

так як і .

Доведення Вл. 5. Дійсно, з означення диференціала

,

так як .

Приклад 9.2. Знайти диференціал функції .

Розв’язування. Запишемо дану функцію у вигляді , де . Тоді

або ,

тобто .

9.2. Застосування диференціала для наближених

обчислень.

З рівності (9.1) і означення диференціала маємо , тому приріст функції з точністю до числа можна замінити диференціалом , тобто . Причому остання рівність буде тим точнішою, чим менше . Перепишемо її у вигляді

або

. (9.2)

Покаже на прикладі, як за допомогою формули (9.2) можна проводити наближені обчислення.

Приклад 9.3. Обчислити .

Розв’язування. Запишемо рівність (9.2) у вигляді

.

В нашому прикладі , . Знайдемо :

;

.

Таким чином,

.

9.3. Похідні вищих порядків.

Розглянемо диференційовану на деякому інтервалі функцію . Похідна , взагалі кажучи, залежить від змінної х, тобто є новою функцією аргументу х, для якої можна ставити питання про обчислення похідної.

Означення 9.2. Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку або другою похідною від початкової функції і позначається або .

Згідно з означенням .

В свою чергу друга похідна також є функцією аргументу х і її можна диференціювати.

Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьою похідною і позначається або .

Аналогічно вводиться похідна будь-якого порядку: похідна від похідної -го порядку називається похідною n-го порядку або n-ю похідною і позначається або . Таким чином

.

Похідні позначаються римськими цифрами або взятими в дужки арабськими, щоб розрізняти з показником степеня.

Приклад 9.4. Знайти похідну четвертого порядку для функції

.

Розв’язування.