Вариант № 9.

1. Р ешить систему уравнений. а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной

матрицы

7x – 5y = 31,

4x + 11z = -43,

2x + 3y + 4z = -20.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(8;6;4), А₂(10;5;5), А₃(5;6;8), А₄(8;10;7).

Найти:

1)длину вектора А₁А₂;

2)угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

3)площадь грани А₁А₂А₃;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А₂.

3. Даны вершины А(3;-3), В(-1;-6), С(-6;6) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(-4: 0) и от прямой y + 2 = 0.

5. Линия задана уравнением r = 1/(3 - cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найти

1) 2)

10. Найти приближенное значение sin31° с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции

Вариант № 10.

1. Решить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы

x + 2y + 4z = 31,

5x + y + 2z = 20,

3x - y + z = 10.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(7;7;3), А₂(6;5;8), А₃(3;5;8), А₄(8;4;1).

Найти:

1)длину вектора А₁А₂;

2)угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

3)площадь грани А₁А₂А₃;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А₂.

3. Даны вершины А(-6;5), В(6;0), С(9;4) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(-4; 0) втрое дальше, чем от начала координат.

5. Линия задана уравнением r = 5/(6 + 3cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найти

1) 2)

10. Найти приближенное значение с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ – 12x + 7 на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции