Вариант № 7.

1. Р ешить систему уравнений. а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы

x + y – z = 1,

8x + 3y – 6z = 2,

4x + y - 3z = 3.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(6;6;5), А₂(4;9;5), А₃(4;6;11), А₄(6;9;3).

Найти:

1)длину вектора А₁А₂;

2)угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

3)площадь грани А₁А₂А₃;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А₂.

3. Даны вершины А(-14;6), В(-2;1), С(1;5) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0: 2) и от прямой y – 4 = 0.

5. Линия задана уравнением r = 10/(2 + cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найти 1) 2)

10. Найти приближенное значение с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³( 8 – x ) на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции

Вариант № 8.

1. Решить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы

x - 4y - 2z = -3,

3x + y + z = 5,

3x - 5y - 6z = -7.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(7;2;2), А₂(5;7;7), А₃(5;3;1), А₄(2;3;7).

Найти:

1)длину вектора А₁А₂;

2)угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

3)площадь грани А₁А₂А₃;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А₂.

3. Даны вершины А(-8;4), В(4;-1), С(7;3) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности

x² + y² = 4x.

5. Линия задана уравнением r = 3/(1 - 2cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найти 1) 2)

10. Найти приближенное значение sin44° с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 81x – x⁴ на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции