Вариант №1.

1. Р ешить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы.

3x + 2y + z = 5,

2x + 3y + z = 1,

2x + y + 3z = 11.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(4;2;5), А₂(0;7;2), А₃(0;2;7), А₄(1;5;0). Найти:

   1. длину вектора А₁А₂;

   2. угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

   3. площадь грани А₁А₂А₃;

   4. объем пирамиды;

   5. уравнение прямой А₁А_{2 .}

3. Даны вершины А(4;1), В(0;-2), С(-5;10) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2:1.

5. Линия задана уравнением r = 1/(1 + cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найти 1) 2)

10. Найти приближенное значение с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = sin 3x – 3sin x на отрезке

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции

Вариант № 2.

1. Решить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы.

x – 2y + 3z = 6,

2x + 3y – 4z = 20,

3x – 2y – 5z = 6.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(4;4;10), А₂(4;10;2), А₃(2;8;4), А₄(9;6;4). Найти: 1)длину вектора А₁А₂;

2)Угол между векторами а1а2 и а1а4;

3)Площадь грани а1а2а3;

4)Объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А₂

3. Даны вершины А(-7;3), В(5;-2), С(8;2) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(-1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x =-4.

5. Линия задана уравнением r = 1/(2 + cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4)

5)

9. Найти 1) 2)

10. Найти приближенное значение cos58° с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции