5.1. Сравнение прогнозирующих функций с помощью остаточной дисперсии, остаточного среднеквадратического отклонения и индекса корреляции

Если для описания исходной кривой с равным основанием можно использовать несколько аналитических функций, то для выбора зависимости наиболее точно отображающей наблюдаемую динамику, рекомендуется применять специальные статистические показатели. К числу таких показателей относятся: остаточная дисперсия σ²_ост, остаточное среднеквадратическое отклонение σ_ост , коэффициент вариации V и индекс корреляции R_y/t.

Первые три показателя используются очень часто при обработке статистической информации. Они тесно связаны между собой и рассчитываются по следующим формулам:

σ²_ост= ( y_t – )²/ n ; (5.1)

σ_ост= ; V= ( )* 100%, (5.2)

где y_ср - средняя арифметическая,

y_ср = (5.3)

В качестве уравнения тренда (т.е. прогнозирующей функции) следует использовать ту аналитическую зависимость, для которой σ²_ост , σ_ост и V принимают минимально возможные значения.

Индекс корреляции Ry/t даёт относительную оценку степени близости линии регрессии к точкам исходной кривой. С его помощью можно оценить не только качество подбора линии прогноза к точкам исходной кривой, но и определить силу (тесноту) корреляционной связи, её близость функциональной зависимости. Он вычисляется по следующей формуле:

Ry/t = , (5.4)

где σ²_общ = - общая дисперсия, измеряющая вариацию переменной за счет действия всех факторов;

σ²_ост - остаточная дисперсия, характеризующая отклонение между исходными и расчетными значениями переменной y_t .

Чем больше индекс корреляции, тем ближе корреляционная связь к функциональной и тем сильнее взаимодействие между переменными t и y_t. И наоборот, чем в большей степени Ry/t приближается к нулю, тем менее чётко выражена тенденция изменения показателя y_t во времени.

Сила связи между переменными считается слабой при Ry/t =0  0,3; умеренной при Ry/t = 0,3  0,5; заметной при Ry/t = 0,5  0,7; высокой при Ry/t = 0,7  0,9; весьма высокой при Ry/t = 0,9 и более.

Пример 5.1

Используя данные по объему выпуска продукции (табл. 5.1) определить линейный и логарифмический тренды.

Таблица 5.1

Месяцы, t	объем выпуска продукции (тыс. руб.), yt
1	12
2	23
3	39
4	45
5	42
6	53
7	51
8	64
9	49
10	55
11	63
12	61

Сравнить эти прогнозирующие тренды с помощью остаточной дисперсии σ²_ост, остаточного среднеквадратического отклонения σ_ост , коэффициента вариации V и индекса корреляции R_y/t.

Также как в предыдущих примерах рассчитаем параметры линейного и логарифмического трендов.

Уравнение линейного тренда имеет вид

= 21,53 + 3,8287 t

Определили параметры уравнения логарифмического тренда

= 13,214+ 19,934 lnt

На графике (рис. 5.1) построены исходный ряд, линейный и логарифмический тренды.

Вычислим значения σ²_ост, σ_ост , V и индекса корреляции R_y/t.

Рис. 5.1. Построение линейного и логарифмического трендов.

Оценим правильность подбора прогнозирующей функции с помощью остаточной дисперсии, остаточного среднеквадратического отклонения и индекса корреляции. Чтобы это сделать, сравним эти показатели для логарифмического тренда с соответствующими показателями для линейного тренда.

Вычислим значение средней арифметической y_ср:

y_ср = = 557 : 12= 46,417

Вычислим значения σ²_ост, σ_ост и V.

Для линейной функции:

σ²_ост = 654,719:12 =54,560;

σ_ост = = 7,386;

V=( )* 100% =7,386/46,417*100% =15,913

Для логарифмической функции:

σ²_ост= = 253,767 : 12 = 21,147;

σ_ост = = 4,599;

V= ( )* 100% = 4,599/46,417*100% = 9,907

Сравнив эти три показателя между собой мы видим, что для логарифмической функции они меньше, чем для линейной. Следовательно, для исходного временного ряда логарифмический тренд подходит лучше.

Чтобы вычислить индекс корреляции R_y/t , необходимо вычислить общую дисперсию σ²_общ по формуле:

σ²_общ= = 2750,917 : 12 =229,243

Причем она одинакова для любой прогнозирующей функции (в нашем случае — для линейной и логарифмической).

Рассчитаем значение индекса корреляции R_y/t .

Для линейной функции:

Ry/t = = = 0,873

Для логарифмической функции:

Ry/t = = = 0,953

Чем больше индекс корреляции, тем сильнее взаимодействие между переменными t и y_t . Для логарифмической функции индекс корреляции выше, чем для линейной функции, поэтому она подходит больше, чем линейная.

Пример 5.2

Используя данные по объему выпуска продукции (табл. 5.2) определить линейный и логарифмический тренды. Сравнить эти прогнозирующие тренды с помощью остаточной дисперсии σ²_ост, остаточного среднеквадратического отклонения σ_ост, коэффициента вариации V и индекса корреляции R_y/t.

Таблица 5.2

Месяцы, t	объем выпуска продукции (тыс. руб.), yt
1	25,4
2	23,1
3	27,4
4	29,8
5	33,7
6	37,2
7	41,6
8	36,3
9	44,8
10	45,9

Пример 5.3

Используя исходные данные (табл. 5.3) провести расчет параметров линейного и экспоненциального трендов и сделать прогноз на 12, 13 и 14 месяцы. Построить графики ряда динамики и трендов.

Таблица 5.3

Месяцы	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1	9,5	12,7	14,2	25,3	32,3
2	8,8	12,9	15,6	28,4	35,2
3	9,8	13,5	16,3	26,2	34,1
4	10,4	12,6	17,2	28,3	35,7
5	11,2	13,4	16,5	29,3	35,9
6	10,3	13,8	17,4	30,2	36,3
7	11,5	14,5	17,2	29,8	36,8
8	10,5	13,2	18,6	32,5	35,9
9	11,4	14,6	19,2	31,7	37,3
10	12,6	15,9	20,1	34,8	38,2
11	13,2	16,8	22,3	36,3	39,3

Пример 5.4

Используя исходные данные (табл. 5.4) провести расчет параметров линейного и логарифмического трендов и сделать прогноз на 12, 13 и 14 месяцы. Построить график исходного ряда и трендов.

Таблица 5.4

Месяцы	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1	16,8	26,5	54,5	106,8	66,8
2	17,5	28	52,3	109,2	69,5
3	17,8	27,3	58,9	105,7	64,7
4	19,2	32,4	63,7	109,8	68,7
5	16,6	33,6	72,8	111,2	71,1
6	17,2	25,9	77,6	107,8	77,2
7	20	29,7	82	115,3	79,5
8	19,2	37,7	76,2	110,6	69,8
9	18,8	42,2	81,5	112,3	73,9
10	21,2	43,5	89,4	117,1	75,7
11	20,4	41,9	86,6	113,3	78,2

Сравнить эти прогнозирующие тренды с помощью остаточной дисперсии σ²_ост, остаточного среднеквадратического отклонения σ_ост, коэффициента вариации V и индекса корреляции R_y/t.