5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, основные свойства и вычисление.

Рассмотрим НСВ Х, имеющую плотность распределения f(x). Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) этой случайной величины определяется следующим образом:

Используя определение определенного интеграла как предела интегральных сумм

и вероятностный смысл плотности распределения f(x_i) x_i  p_i, можно показать, что эти определения является обобщением на случай НСВ определений математического ожидания и дисперсии ДСВ.

В частности, отсюда следует, что М(Х) и Д(Х) для непрерывных случайных величин имеет тот же самый вероятностный смысл, что и для дискретных, т.е. М(Х) характеризует среднее значение НСВ Х за достаточно большое число испытаний, а D(Х) – среднее значение квадрата отклонения Х от М(Х).

Задача 1. Случайная величина Х задана своей плотностью распределения

k(x-x²), если 0 х 1;

f(x)=

0, в противном случае.

Требуется:

1. найти коэффициент k;

2. найти функцию распределения F(x);

3. построить схематически графики функций f(x) и F(x).

4. найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(x) и среднеквадратическое отклонение (Х);

5. найти вероятность попадания Х в интервал (1/3; 1/2),

Решение.

1)Коэффициент k найдем из условия нормировки:

Имеем

2)

3) Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

y y

y=f(x) y=F(x)

1

x x

1 1

4)

5)

Задача 2. Случайная величина Х задана своей функцией распределения:

Требуется найти:

1. плотность распределения f(x);

2. М(Х);

3. 

Решение. В условии задачи не указаны значения параметров a, b и k. Их можно найти из условия непрерывности функции распределения F(x). Схематично изобразим график y=F(x).

y

y=F(x) a=-/2

k=1/2

1 b=1/2

1/2

-/2 1/2

Теперь найдем плотность распределения f(x)=F’(x).

y 0, если х -/2

y=f(x) f(x)= -1/2sinх, если /2<х0

1 1, если 0<х1/2

0, если x>1/2

-/2 1/2 x

(1-й из этих интегралов берется по частям, а 2-й — табличный)