13. Марковские системы массового обслуживания

Для задания СМО необходимо задать вероятностные ха­рактеристики времени обслуживания одной заявки. Обозна­чим это время через T_обсл. Величина T_обсл является случай­ной. Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается пока­зательным, т. е.

F(t) = P(T_обсл < t) = 1 - e^- . (15)

Параметр этого распределения  есть величина, обратная среднему времени обслуживания, т. е.

. (16)

Часто  называют интенсивностью потока обслуживания.

При этом под потоком обслуживания понимается поток зая­вок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно заня­тым каналом. Если Т_обсл представляет собой случайную ве­личину, имеющую показательное распределение, то поток об­служивания является простейшим.

Если входящий поток и все потоки обслуживания простей­шие, то процесс, протекающий в СМО, является марковским случайным процессом (цепью) с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поэтому СМО, в которой все потоки простейшие, называют марковской СМО.

Таким образом, предположение о показательном законе распределения времени обслуживания и интервала времени между двумя последовательными поступлениями заявок иг­рает исключительную роль в теории массового обслуживания, так как упрощает аналитическое исследование СМО, сводя его к исследованию цепей Маркова.

14. Показатели эффективности систем массового обслуживания

Обычно в теории массового обслуживания интересуются предельными средними характеристиками системы, которые называют показателями эффективности СМО. В качестве по­казателей эффективности могут рассматриваться следующие:

А — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в еди­ницу времени. Эту характеристику называют абсолютной пропускной способностью СМО.

Q - вероятность обслуживания поступившей заявки или относительная пропускная способность СМО. Очевидно, Q = .

р_отк — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что по­ступившая заявка не будет обслужена, Р_отк = 1—Q.

— среднее число занятых каналов.

— среднее число заявок в очереди, если она есть.

— среднее число заявок в СМО (имеются в виду все заявки, как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, ес­ли они есть).

— среднее время пребывания заявки в очереди.

— среднее время пребывания заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и под обслуживанием.

Выбор показателей эффективности СМО зависит от типа СМО. Например,

абсолютная пропускная способность А яв­ляется основной характеристикой обслуживания в СМО с от­казами;

для СМО с неограниченной очередью абсолютная пропускная способность А =  и не является поэтому новым показателем.

15.Замкнутые системы массового обслуживния

Задача. Автоматизированная система управления АСУ продажей железнодорожных билетов состоит из двух параллельно работающих ЭВМ. При выходе из строя одной ЭВМ АСУ продолжает нормально функционировать за счет работы другой ЭВМ. Поток отказов каждой ЭВМ простей­ший. Среднее время безотказной работы одной ЭВМ равно 10 суткам. При выходе из строя отказавшую ЭВМ начинают ремонтировать. Время ремонта ЭВМ распределено по пока­зательному закону и в среднем составляет 2 суток. В начальный момент обе ЭВМ исправны. Найти: 1) вероятность того, что обе ЭВМ исправны, 2) среднее число работающих ЭВМ, 3) среднюю производи­тельность АСУ, если при исправности хотя бы одной ЭВМ ее производительность равна 100%, а при отказе обеих ЭВМ продажа билетов производится вручную, обеспечивая 30% общей производительности АСУ.

Решение. 1) найдем вероятность того, что обе ЭВМ исправны.

Обозначим состояния АСУ по числу вышед­ших из строя ЭВМ: A₀ — обе ЭВМ исправны; А₁ — одна ис­правна, одна ремонтируется; А₂ — обе ЭВМ ремонтируются. Так как потоки отказов и восстановления ЭВМ являются про­стейшими, то их интенсивности вычисляются по формулам (14) и (16):

 = = 0, 1 (отказов/сутки);  = =0,5 (восстановления/сутки)

Размеченный граф состояний изображен на рис. 5.

₀ = 1/5 ₁ = 1/10

А₀ А₁ А₂

₁ = 1/2 ₂ = 1

рис. 5

По­скольку в состоянии A₀ работают две ЭВМ, каждая из которых может отказать с интенсивностью  = 1/10, то АСУ перехо­дит из состояния а₀ в состояние А₁ с интенсивностью₀ =2(1/10) = 1/5; переход А₁А₂ происходит с интенсивностью ₁ = 1/10.

Из состояния А₂ в состояние А₁ система перехо­дит с интенсивностью ₂ = 2  = 2 (1/2) =1,так как восстанав­ливаются две ЭВМ; переход А₁ А₂ происходит с интенсив­ностью ₁ =  = 1/2. Полученный граф состояний является графом процесса гибели и размножения с числом состояний k + 1 = 3, так как k=2. Воспользуемся формулами (11) для вычисления пре­дельного распределения вероятностей

p₀ = = = 0,694.

p₁ = p₀ = 0,694  0,278;

p₂ = p₀ = 0,694  0,028.

Вычислим p₀ + p₁ +p₂ =0,694+0,278+0,028=l, что и следова­ло ожидать, так как система может находиться только в одном из трех возможных состояний А₀,, А₁, А₂.

2) найдем среднее число работающих ЭВМ.

m = 2 p₀ + p₁ = 2 (0,694 )+ 0,278 = 1,666

3) найдем среднюю производи­тельность АСУ.

Средняя производи­тельность АСУ в установившемся режиме составит

100% (p₀+p₁) +30%p2 = 100% (0,694+0,278) +30% • 0,028 = =98,04%.

Расчет показывает, что параллельная работа всего двух ЭВМ обеспечивает достаточно высокую (98,04% от номинальной) производительность АСУ. Следовательно, нет необходимости повышать производительность системы за счет, например, присоединения третьей ЭВМ.

51-60. Вход на станцию метрополитена оборудован системой из k турникетов.

При выходе из строя одного из турникетов остальные продолжают нормально

функционировать. Вход на станцию перекрывается, если выйдут из строя все турникеты.

Поток отказов каждого турникета - простейший, среднее время безотказной работы одного турникета t часов. При выходе из строя каждый турникет начинает сразу ремонтироваться. Время ремонта распределено по показательному закону и в среднем составляет s часов. В начальный момент все турникеты исправны. Найти среднюю пропускную способность системы турникетов в процентах от номинальной, если с выходом из строя каждого турникета система теряет (100/k)% своей номинальной пропускной способности.

_{Найдем интенсивности и коэффициент :}

Расчет показывает, что параллельная работа турникетов обеспечивает достаточно высокую пропускную способность. Следовательно, нет необходимости увеличивать количество турникетов

16.Открытые системы массового обслуживания с простейшим входящим потоком и показательным временем обслуживания

Здесь рассматриваются СМО, у которых, входящий поток пуассоновский, а время обслуживания — показательное.

Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью

  …    …  

А₀ А₁ А_k А_k+1 А_k+m-1 А_k+m

 2 … k k k … k k

Рис. 6

Пусть СМО содержит k каналов, число мест в очереди – m (длина очереди), входящий поток заявок имеет интенсивность , поток обслуживания заявки одним каналом имеет интенсивность . Будем нумеровать состояния СМО по числу занятых каналов:

А₀— все каналы свободны; А₁ — один канал занят; ......; A_i - i каналов занято,(k—i) каналов свободны; ......; A_k— все каналы заняты; A_k+1— все каналы заняты, одна заявка в очереди; …; A_k+m— все каналы заняты, m заявок в очереди.

Размеченный граф состояний имеет вид, представленный на рис.6. Сравнивая рисунки 6 и 3, приходим к выводу, что граф на рис. 6 является графом процесса гибели и размножения, для которого:

_i = , _i = . (18)

Тогда предельное распределение вероятностей состояний можно вычислить по формулам (11). Обозначая через (коэффициент загрузки системы), с учетом соотношений (18) из (11) получим:

p₀ = ;

p₁ = p₀; p₂ = p₀; … ; p_k = p₀; p_k+1 = p₀; … ; p_k+m = p₀. (19)

Обозначим . Применяя формулу суммы ряда геометрической прогрессии, получим:

p₀ = (20)

С помощью формул (19), (20) вычисляются показатели эффективности СМО:

А = ( ) = = (1 – p_k+m); Q = = 1 – p_k+m; P_отк = 1 – Q = p_k+m; (1 – p_k+m); ; (21)

Для открытых СМО справедливы соотношения:

= , = и = . (17)

где  — интенсивность потока заявок,  — интенсивность потока обслуживания. Формулы (17) справедливы только в том случае, когда входящий поток заявок и поток обслужи­вания стационарны.

(Первая и вторая формулы называются формулами Литтла.)

Рассмотрим частные случаи:

1. Многоканальная система массового обслуживания с отказами (задача Эрланга).

Пусть m = 0, т.е. очередь не допускается, если все каналы обслуживания заняты, то заявка покидает СМО. Из формул (20), (21) получим:

p₀ = ;

p₁ = p₀; p₂ = p₀; … ; p_k = p₀. (22)

Формулы (22) называются формулами Эрланга.

А = (1 – p_k); Q = 1 – p_k; P_отк = p_k; (1 – p_k); (23)

Задача 4. Диспетчерская служба имеет 5 линий связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью =0,8 вызовов в минуту. Среднее время переговоров с диспетчером состав­ляет t = 3 мин. Время переговоров распределено по показатель­ному закону. Найти 1) абсолютную и относительную пропуск­ные способности диспетчерской службы; 2) вероятность отказа; 3) среднее число занятых каналов. Определить, сколько линий связи должна иметь диспетчерская служба, чтобы вероят­ность отказа не превышала  = 0,01?

Решение. Находим интенсивность потока обслуживания  = 1/ M[T_обсл] = 1/3 разговора в минуту. Коэффициент загрузки СМО составляет  = = = 2,4. Из формул (22) при k = 5 имеем:

p₀= = [10,629]^-1 0,094;

p₅ = =

Находим по формулам (23):

а) абсолютная пропускная способность:

А = (1—р₅) 0,8 (1—0,062) 0,8.0,938 0,750.

(следовательно, СМО обслуживает в среднем 0,75 заявки в минуту);

б) относительная пропускная способность:

Q = 1 – p₅ = 1 - 062 0,938

(следовательно, вероятность обслуживания вновь поступив­шей заявки равна 0,938);

в) вероятность отказа: P_отк=p₅= 0,062;

г) среднее число занятых каналов:

= 2,4.0,938 2,251

(следовательно, диспетчерская служба в среднем имеет поло­вину линии связи постоянно занятыми).

Поскольку вероятность отказа данной диспетчерской служ­бы p_отк- 0,062 превышает 0,01, то число линий связи следует увеличить. Допустим, что линий связи стало 6. Тогда из фор­мул (22) при k=6

P₀ = [10,629 + 0.265]^-1 0,092;

p₆ = 092 = 0,265.0,092 0,024 >0,01.

Следовательно, при k=6 вероятность отказов Р_отк ⁼ Р₆ =0,024 превышает 0,01. Значит, число каналов надо увели­чить. При k=7 получим: p₀ = 0,091; p₇ = 0,008. Следовательно, при k =7 вероятность отказов Р_отк =p₇ = 0,008 не превышает 0,01. Таким образом, для обеспечения требуемой вероятности отказов следует увеличить количество линий связи диспетчерской службы до 7.

Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Пусть СМО имеет k каналов обслуживания. Все потоки простейшие. Интенсивность потока заявок —, потока об­служивания одной заявки — . Коэффициент загрузки СМО= . Обозначим отношение коэффициента загрузки к числу каналов в системе через  = . Предельное распределение вероятностей состояний в описываемой СМО существует толь­ко при <1. Этот факт можно объяснить, если рас­сматривать данную СМО как предельный случаи многоканаль­ной СМО с ограниченной очередью при стремлении длины очереди к бесконечности. Тогда предельное распределение ве­роятностей состояний можно вычислить как предел при т—> предельных вероятностей (19)- (20). При этом возникает бесконеч­ный числовой ряд, состоящий из членов геометриче­ской прогрессии, который сходится, если знаменатель прогрессии меньше 1, т. е. <1, и имеет сумму .

Обозначим через p_i предельную вероятность того, что в системе занято i каналов ( 0< i < k+1), а через p_k+r— пре­дельную вероятность того, что в системе заняты все k кана­лов и r заявок стоят в очереди. При <1 предельное распре­деление вероятностей состояний имеет вид:

p₀ = ;

pi = p₀; (0< i < k+1); p_k+r = p₀; (r > 0). (23)

Так как очередь в СМО не ограничена, то каждая заявка рано или поздно будет обслужена, следовательно, справедли­вы соотношения

P_отк = 0, Q = 1 – P_отк = 1, A = Q  =  . (24).

Остальные показатели эффективности СМО вычисляются по формулам:

; ; ;

= ; = . (25)

17.Таблица основных формул для открытых СМО

№	Общий случай (m – число мест в очереди)	Задача Эрланга (m = 0)	Неограниченное число мест в очереди (m = ), <1
1	p0 = pi = p0;(0< i k);pk+r= p0;(1r m).	p0 = pi = p0;(0< i  k).	p0 = pi = p0; (0< i  k); pk+r = p0; (r > 0).
2	(1 – pk+m) — среднее число занятых каналов.	(1 – pk)
3	Абсолютная пропускная способность А = = (1 – pk+m) — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в еди­ницу времени.	А =(1 – pk)	А =
4	Относительная пропускная способность Q = = 1 – pk+m - вероятность обслуживания заявки	Q = 1 – pk	Q = 1
5	Pотк = 1 – Q = pk+m — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что заявка не будет обслужена	Pотк = pk	Pотк = 0
6	— среднее число заявок в очереди.	0
7	- среднее число заявок в СМО ( все заявки- как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, ес­ли она есть).	(1 – pk)	=  +
8	= среднее время заявки в очереди.	0	=
9	= - среднее время заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и под обслуживанием.	= (1 – pk)	=

Пример. Дисплейный зал имеет k дисплеев. Поток поль­зователей простейший. Среднее число пользователей, посещаю­щих дисплейный зал за сутки, равно п. Время обработки инфор­мации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем t мин. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми ; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свобод­ного дисплея ; среднее время пребывания пользователя в дис­плейном зале.

Дано: k=2 , n=40, t=34

Решение: Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов k=2. Найдем - интенсивность потока заявок: , где - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда . Найдем - интенсивность потока обслуживания: , где - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем, тогда . Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО .

Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы.

Находим это отношение .

Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам:

Поскольку k=2, имеем:

Вычислим - вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (p₂); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (p₃); и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единицы, то справедливо равенство .

Найдем эти вероятности:

Используя формулы для вычисления показателей эффективности, найдем:

1. среднее число пользователей в очереди

;

2. среднее число пользователей в дисплейном зале

;

3. среднее время ожидания свободного дисплея

;

4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями ; пользователя; пользователя; мин; мин.

18. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью, простейшим входящим потоком и произвольным распределением времени обслуживания

Пусть СМО содержит один канал. Поток заявок является простейшим с интенсивностью . Время обслуживания Т_обсл распределено по произвольному закону с математическим ожиданием = M[Т_обсл] и средним квадратическим отклонением _обсл ⁼ Такая система не является марковской, так как поток обслуживания не является простейшим.

Можно доказать, что среднее число заявок, находящихся в очереди, и среднее время ожидания обслуживания вычисляются по формулам Полячека—Хинчина:

(29)

где коэффициент загрузки системы; v = _обсл  - коэффициент вариации времени обслуживания.

Из (29) по формулам Литтла получим:

(30)

Задача 7. На контейнерную площадку с одним краном прибывает простейший поток автомашин со средним интерва­лом между ними, равным 10 мин. Время погрузки-выгрузки в среднем составляет 6 мин. Время погрузки-выгрузки распре­делено по произвольному закону, среднее квадратическое отклонение времени погрузки-выгрузки равно 1 мин. Определить:

1) среднее число автомашин, ожидающих погрузки-выгрузки;

2) средний простой машин в ожидании погрузки-выгрузки;

3) среднее число автомашин на контейнерной площадке;

4) среднее вре­мя нахождения машины на контейнерной площадке.

Решение. Контейнерную площадку с одним краном можно рассматривать как одноканальную СМО с неограни­ченной очередью, простейшим входящим потоком и произ­вольным распределением времени обслуживания. Найдем па­раметры СМО:  = 1/M[T} = 1/10 = 0,1 (машин в мин),  = 1/ M[Т_обсл] = 1/6 = 0,167 (машин в мин);

 0,1/0,167  0,599; v = v = _обсл  = 1  0,167.

По формулам (29) и (30) вычислим показатели работы СМО:

1) среднее число автомашин, ожидающих погрузки-выгруз­ки:

0,459 маш;

2)средний простой машин в ожидании погрузки-выгрузки:

0,459 / 0,1 = 4,59  4,6 мин;

3)среднее число автомашин на контейнерной площадке:

 0,459 + 0,599 =1,058 маш.;

4)среднее время нахождения машины на контейнерной пло­щадке:

4,59 + 6  10,6 мин.