7. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность отклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».

Выражение функции распределения (интегральной функции) НРСВ

F(x) =

через элементарные функции невозможно. Однако для расчетов, связанных с НРСВ, необходимо знать её значения. Поэтому рассматривается функция Лапласа:

,

для которой составлены таблицы (их можно найти в учебнике или задачнике по теории вероятностей).

При использовании таблицы следует учитывать, что функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) (-х)=-(х), т.е. является нечетной, поэтому в таблице приведены значения (х) только при х>0.

2) при х= 4 значение функции Лапласа (х)=0,4999, поэтому при х> 4 принято считать, что (х)=0.5.

Функция распределения НРСВ с параметрами (а; ) выражается через функцию Лапласа следующим образом:

Через функцию распределения выражается вероятность попадания НРСВ Х в заданный интервал ( ; ):

а также вероятность отклонения Х от математического ожидания а не более, чем на :

Следствием последней формулы является “правило трех сигм”,

,

которое можно сформулировать так:

НРСВ Х с параметрами (а, ) практически наверняка принимает значения только в интервале (а-3; а+3).

На практике “правило трех сигм” применяют также для формулировки гипотез о виде распределения:

если некоторая случайная величина удовлетворяет правилу трех сигм, то можно предположить, что она имеет распределение близкое к нормальному.

Задача. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и  = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность нормального распределения имеет вид:

Построим график:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, меньшую чем 2.

10. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева.

Из повседневного опыта известно, что массовые случайные явления обладают свойствами устойчивости средних. Это означает, что при независимых испытаниях случайной величины Х среднее арифметическое (х₁+ х₂+ …+ х_n )/n полученных значений при больших n стабилизируется. Случайные колебания значений каждого испытания компенсируются и случайная величина

( х₁+ х₂+ …+ х_n, )/n,

где х_i – значение величины Х(i=1, 2,…,n) в i –м испытании при больших n теряет свой случайный характер. Теоремы описывающие такие ситуации называются законами больших чисел.

Лемма (неравенство Чебышева). Пусть Х- произвольная случайная величина, М(Х) и D(X) – её математическое ожидание и дисперсия,  >0 произвольное число. Тогда справедливо неравенство:

Р(|X-M(X)|< )>1- D(X)/²

где Р(|X-M(X)|< ) означает вероятность того, что отклонение случайной величины Х от еёматематического ожидания меньше .

Теорема Чебышева. При достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее –математическому ожиданию, т.е.

,

где , - произвольные малые положительные числа.

Теорема Чебышева утверждает, что малое (меньше, чем ) отклонение среднего арифметического от математического ожидания весьма вероятно. Иными словами, почти всегда будет наблюдаться малое отклонение (при большем числе испытаний n).

Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности к вероятности события, т.е.

,

если вероятность от испытания к испытанию не изменяется и равна р, то q=1-p.

Задача. Монета бросается 1000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления орла от вероятности на величину меньше, чем 0,1.

Решение. Воспользуемся неравенством

,

Пусть n=1000 р=q=1/2, =0,1, тогда

,

Следовательно, искомая вероятность больше 39/40. Это подтверждает, что при n   вероятность стремится к единице.

Теорему Бернулли можно рассматривать как частный случай теоремы Чебышева.