4. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, основные свойства и вычисление

Рассмотрим ДСВ Х, заданную своим законом распределения:

Х	х1	х2	х3	….	хn
Р	р1	р2	р3	….	рn

Математическим ожиданием этой ДСВ Х называется число М(Х), которое определяется следующим образом:

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_nр_n

(если множество значений Х бесконечно, то вместо конечной суммы берется числовой ряд ).

Перечислим некоторые свойства математического ожидания.

1. М(С)=С, где С – постоянная;

2. М(СХ)=СМ(Х);

3. М(Х+У)=М(Х)+М(У);

4. М(ХУ)=М(Х)М(У), если Х и У – независимы;

Дисперсией ДСВ Х называется число:

D(Х)=М(Х – М(Х))²=(x_k– М(Х))²p_k .

Следствие:

D(Х)=М(Х²) – М²(Х).

1. Д(С)=0, где С – постоянная;

2. Д(X)  0;

3. Д(СХ)=С²Д(Х);

4. Д(Х  У)=Д(Х)+Д(У), если Х и У – независимы;

Рассмотрим вероятностный смысл математического ожидания и дисперсии. Вспомним для этого статистическое определение вероятности. Предположим, что некоторое испытание проведено многократно (N раз) и при этом ДСВ Х приняла:

Значение х₁ – N₁ раз;

Значение х₂ – N₂ раз;

…

Значение х_n – N_n раз.

Тогда для любого 1kn имеем, с одной стороны, Р(Х=х_k)=р_k (из закона распределения), а, с другой стороны, Р(Х=х_k)N_k/N (исходя из статистического определения вероятности). Таким образом, р_k N_k/N для любого k. Если теперь рассмотреть среднее значение Х ДСВ Х в этой серии из N испытаний, то получим:

X= х₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=M(X).

Таким образом, можно сделать следующий вывод: математическое ожидание М(Х) ДСВ Х практически совпадает со средним значением Х этой случайной величины за достаточно большое число испытаний, т.е.

М(Х) Х.

Аналогичный вывод можно сделать и для дисперсии, т.к. она определяется через математическое ожидание. Выражаясь не вполне строго, можно сказать, что дисперсия D(Х) характеризует разброс значений ДСВ Х относительно ее среднего значения. Более точной характеристикой величины этого разброса является среднеквадратическое отклонение:

=

Рассмотрим на примерах построение законов распределения ДСВ и нахождения их числовых характеристик.

Задача 1. Бросают два кубика. Случайная величина Х – это разность (по модулю) между двумя выпавшими цифрами. Найти закон распределения Х, а также М(Х), D(Х), и (Х).

Решение. Очевидно, что Х может принимать любые значения от 0 до 5. Для любого k=0, 1, 2, 3, 4, 5 вероятность Р(Х=k) можно найти по классическому определению. Общее число исходов n=36, запишем все исходы в виде таблицы.

(1,1)	(1,2)	(1,3)	…	(1,6)
(2,1)	(2,2)	(2,3)	…	(2,6)
(3,1)	(3,2)	(3,3)	…	(3,6)
…				…
(6,1)	(6,2)	…		(6,6)

Найдем вероятности:

Р(Х=0)=6/36 (этому событию соответствует 6 исходов, стоящих на главной диагонали);

Р(Х=1)=10/36 (10 исходов, стоящих на двух побочных диагоналях);

… и т.д.

В результате получим следующий закон распределения:

Х	0	1	2	3	4	5
Р	6/36	10/36	8/36	6/36	4/36	2/36

Задача 2. В урне находится 6 белых шаров и 4 черных. Из урны берут наугад два шара. Случайная величина Х – это число белых шаров среди двух выбранных. Найти М(Х) и D(Х).

Решение. ДСВ Х может принимать значения 0, 1 или 2. Их вероятности находим по классическому определению:

Значит, закон распределения Х имеет вид:

Х	0		1		2
Р		2/15		8/15	5/15