1) Классическое определение вероятности.

Предположим, что для рассматриваемого испытания существует группа событий {A₁, A₂, ..., A_n}, удовлетворяющая условиям :

1) события А_i попарно несовместимы, т.е. A_iA_j= для всех i j;

2) А₁ + А₂ + ... + А_n =  , т.е. в результате испытания хотя бы одно из этих событий обязательно произойдет.

3) события А_i равновероятны в том смысле, что из двух событий А_i и А_j , i j одно не является более возможным, чем другое( это условие обеспечивается выбором предметов наугад, симметрией и т.п.)

Если эти условия выполняются, то говорят, что события образуют полную группу равновероятных и несовместных событий, а сами события А_i называют элементарными исходами, или просто исходами.

Рассмотрим теперь какое- то другое случайное событие А. Если при наступлении исхода А_i событие А обязательно произойдет, то этот исход А_i называется благоприятствующим событию А, в противном случае исход А_i называется неблагоприятствующим событию А. Пусть m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А( напомним, что n - это общее число всех исходов). Классической вероятностью события А называется число

P(A) =

Рассмотрим для начала несколько простейших примеров вычисления вероятностей по классическому определению.

Задача 1. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадет четная цифра большая 3.

Решение: Рассмотрим следующие элементарные исходы:

А₁ - на кубике выпала цифра “1”;

А₂ - на кубике выпала цифра “2”;

...

...

А₆ - на кубике выпала цифра “6”.

Исходы А₁… А₆ образуют полную группу несовместных и равновероятных исходов ( равновероятность - следствие симметрии кубика). Событию А, описанному в задаче, благоприятствует два исхода: А₄ и А₆. Таким образом, n = 6, m = 2, а поэтому

p(A) =

Замечание. Предположим, что в этой задаче мы имели бы дело с кубиком неправильной формы ( например, похожим на спичечный коробок). В таком случае условие равновероятности исходов было бы явно нарушено, что привело бы к невозможности использовать классическое определение вероятности ( тогда, как было замечено ранее, вероятность p(А) можно найти лишь статистически).

Задача 2. Из набора костей домино наугад извлекают одну кость. Какова вероятность того, что эта кость - дупль.

Решение: В полном наборе костей домино - 28 штук, из них - 7 дуплей. Полную группу равновероятных и несовместных исходов образуют 28 исходов, 7 из которых благоприятствуют рассматриваемому событию А. Таким образом,

p(A) = .

Задача 3. Из колоды в 36 карт наудачу достают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта - туз.

Решение: Эта задача по своей сути практически не отличается от предыдущих двух. Поэтому приведем очень краткое решение ( студенту рекомендуется придумать его самостоятельно).

n=36, m=4, p(A) = .

2)Геометрическое определение вероятности.

Рассмотрим испытание, состоящее а том, что внутри заданной плоскости области  наугад отмечается точка М, Тогда для любой меньшей области D¹, лежащей в  можно рассмотреть событие А, состоящее в том, что отмеченная точка М окажется лежащей в D¹. Вероятность этого события вычисляется по формуле

P(A) =

где S и S¹ - площади областей D и D¹ соответственно.

Можно проверить, что все свойства 1) – 3) вероятности выполняются. Для демонстрации свойства 4) нужно рассматривать боле сложное испытание.

В рассмотренном испытании вместо плоских областей можно взять отрезки на прямой или области в пространстве, В этих случаях имеют место аналогичные формулы с той лишь разницей, что вместо отношения площадей берется отношение длин или объемов.

Задача 1. В квадрате со стороной 3 см наугад отмечается точка М. Найти вероятность того, что т.М окажется не дальше 1 см от ближайшей вершины квадрата.

Решение: В данном случае область  - это

квадрат. Рассматриваемому событию А

соответствует заштрихованная область D¹ -

четыре круговых сектора радиуса 1 см.

S = 3² = 9, S¹ =   1² = 

П оэтому P(A) = .

Задача 2. Наугад выбирают два числа: и

. Строится прямоугольник со сторонами x и y. Найти

вероятность того, что его площадь будет больше 1.

Решение: Пара чисел (x,y) определяет точку М на плоскости, а указанным неравенствам соответствует область  ( прямоугольник OABC).

Область D¹ (заштрихована) определяется условием xy>1 или y>

y

1 ^{A B}

S()=12=2

О 1 2 x

S(D¹) = S¹ = = (x-lnx) = (2 - ln2) - (1 - ln1) = 1 - ln2

Значит, искомая вероятность P(A) = .

Во многих задачах непросто определить, что надо понимать под исходами, образуют ли они полную группу равновероятных и несовместных исходов, подсчитать их общее число n и, в особенности, число благоприятных исходов m. Для решения этих задач может помочь знание комбинаторных формул (см. 9)