2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса.

Рассмотрим теоретическое определение вероятности.

Вероятностью называется действительная функция Р(А), заданная на множестве случайных событий некоторого испытания (опыта), имеющая следующие свойства:

1. Р(А) 0,

2. Р( ) = 1,

3. Если события А и В несовместны, т. е. АВ = , то

Р(А+В) = Р(А)+Р(В),

4) P_А(В) = ,

Для формулировки свойства 4) введем понятие условной вероятности P_А(В) события В при условии А. Ее можно определить как вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А произошло.

В связи со свойством 4) возникает важное понятие независимости событий: события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или нет другое. Другими словами, это означает, что Р(В)=Р_А(В) (или Р(А)=Р_В(А)).

Следствия:

Из определения получим следующие простейшие свойства вероятности:

1) Р() =0;

2) Р(А) = 1- Р(А);

3) Формула умножения вероятностей

РАВ)=Р(А)Р_А(В).

Эта формула получается непосредственно из свойства 4) вероятности.

Чтобы лучше понять смысл этой формулы, воспользуемся геометрическим определением вероятности. Итак, пусть А и В - случайные события.



A B

A.B

Обозначим через

S - площадь области ;

S_А - площадь А;

S_В - площадь В;

S_АB - площадь пересечения А и В.

Тогда для вероятности события АВ будем иметь:

В этом равенстве Р(АВ) и Р(А) - обычные вероятности, а Р_А(В) - условная вероятность события В при условии А.

Формула умножения вероятностей для независимых событий принимает более простой вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Если при вычислении Р(АВ) вопрос о независимости событий А и В является затруднительным, то рекомендуется пользоваться при этом первой, более общей формулой. Заметим также, что формула умножения вероятностей допускает обобщение на случай нескольких сомножителей:

для любых событий А₁, А₂,..., А_n

и

Р(А₁А₂...А_n) = Р(А₁)Р(А₂)...Р(А_n)

для независимых событий.

4) Формула сложения вероятностей

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ),

здесь события А и В могут быть совместными.

Рассмотрим случайные события А и В. Возможны два случая.

1. События А и В несовместны. Тогда, по определению получим,

р(А+В)=р(А)+р(В);

2. События А и В совместны.



A B

A+B

Проверим справедливость формулы с помощью геометрической интерпретации определения случайного события и вероятности. Для удобства будем считать, что площадь S()=1.

Тогда вероятность любого события численно будет равна площади соответствующей области. Поскольку площадь объединения А и В складывается из площадей А и В за вычетом площади их пересечения, то отсюда и следует формула сложения вероятностей совместных событий.

Аналогично можно получить формулу сложения вероятностей для суммы трех попарно совместных событий:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С) - Р(АВ) - Р(ВС) - Р(АС)+Р(АВС).

Для вычисления вероятности суммы n  3 удобнее пользоваться следующей формулой (вероятность наступления хотя бы одного из n событий А , i = 1,…, n):

Р(А₁+А₂+...+А_n) = 1 - Р(А₁А₂...А_n),

которая является следствием противоположности событий (А₁+А₂+...+А_n) и (А₁А₂...А_n).

Приведем примеры пространств элементарных исходов с введенной на них вероятностью случайного события.