3. Нестационарный пуассоновский поток

Определение. Нестационарным пуассоновским потоком называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью (t).

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины , начинающийся в точке t₀, подчиняется закону Пуассона:

Здесь а – математическое ожидание числа событий на участке от t₀ до + t₀ . Оно вычисляется по формуле:

Величина а на только от длины участка , но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции (t) .

Вероятность того, что на участке времени от t₀ до t + t₀ не появится ни одного события, равна

Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:

Плотность распределения можно найти дифференцированием:

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра t₀ и вида функции (t). Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.

5.Поток Пальма.

Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием.

Определение. Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями Т₁, Т₂, … представляют собой независимые случайные величины.

Если промежутки времени Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком.

Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т₁, Т₂, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма.

Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.

Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.

Теорема. (Теорема Пальма) Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.

Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т.е. образуют для этой системы входной поток.

Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.