В заданной замкнутой области:
1) Найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках (исследовать на экстремум эти точки не следует).
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдельности.
3) Сравнить полученные значения функции и установить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.
Пример
Найти
наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области, ограниченной
линиями
,
,
.
Решение:
1
)
Найдем стационарные точки, лежащие
внутри области:
,
.
Составим и решим систему:
откуда
,
.
Найденная
точка
не принадлежит заданной области.
2)
Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции на границе области. Граница
области состоит из отрезка оси
,
отрезка
и отрезка
.
Определим наибольшее и наименьшее
значения функции
на каждом из этих участков.
На
отрезке
:
,
.
Если
,
то
.
Находим наибольшее и наименьшее значения
этой функции на
:
,
тогда
,
следовательно,
,
т.е.
.
.
Вычислим
значения функции на концах отрезка
,
т.е. в точках
и
:
;
.
На
отрезке
:
,
.
.
Находим
наибольшее и наименьшее значения этой
функции на
:
,
,
следовательно,
,
т.е.
не принадлежит исследуемой области.
Вычислим
значения функции на концах отрезка
,
т.е. в точках
и
,
в точке
значение функции уже было найдено.
Вычислим значение функции в
:
.
Исследуем
отрезок
.
Уравнение прямой
:
Подставим это выражение для
в заданную функцию
.
или
.
Определим
наибольшее и наименьшее значения этой
функции на
:
,
,
следовательно,
,
т.е.
совпадает с точкой
.
Значения функции на концах отрезка
найдены ранее.
Сравним
полученные значения функции
в точках принадлежащих заданной области:
,
,
,
.
Ответ:
, 
.
Метод наименьших квадратов
Пусть
в результате опыта получена таблица
значений функции
для ряда значений независимой переменной
:
|
|
|
... |
... |
|
|
|
|
... |
... |
|
Требуется
найти формулу, которая наилучшим образом
описывает эту таблицу. Предположим, что
точки
примерно располагаются на одной прямой.
Это означает, что зависимость между
и
близка к линейной
.
Найдем параметры
и
из условия, что сумма
имела бы наименьшее значение. Воспользуемся необходимым условием функции двух переменных.
или
Пример
Методом наименьших квадратов среди класса линейных функций выбрать ту, которая лучше всего согласуется с таблицей.
-
-2
0
2
4
6
-4
-1
3
5
13
Решение:
1. Составим сумму квадратов отклонений теоретических и опытных значений функции:
2.
Найдем точки, в которых функция
имеет минимум:
Откуда,
,
.
Ответ:
.