§ 3. Полный дифференциал функции
Полным приращением функции Z = f(x, y) называется разность
Линейная
часть приращения функции Z
= f(x,
y)
относительно
приращений аргументов
x
и
y
называется
ее полным
дифференциалом и
обозначается символом dz
или df(x,
y).
Полный дифференциал функции Z = f(x, y) находится по формуле:
или
,
где dx = x и dy = y.
При
достаточно малых
или
Пример
Найти
полный дифференциал функции
Решение:
Сначала
найдем частные производные
.
Следовательно,
Пример
Вычислить приближенно (0,96)2(1,02)3.
Решение:
есть
частное значение функции
.
По формуле (1) получим
Пусть х = 1 у = 1, тогда x = –0,04 , так как 1 + x = 0,96;
y = 0,02, т.к. 1 + y = 1,02
Следовательно,
.
§ 4. Частные производные второго порядка. Экстремум функции двух переменных
Частными
производными второго порядка
(или вторыми частными производными) от
функции Z
= f(x,
y)
называются
частные производные от функций
.
Общее
число вторых частных производных четыре.
Частная производная от
по аргументу х
обозначается
или
.
Аналогично
(1)
(2)
Вторые производные (1) и (2) называются смешанными. Смешанные производные второго порядка равны между собой.
Пример
Найти
вторые частные производные от функции
.
Решение:
Находим первые частные производные
Теперь берем производные от первых частных производных.
Функция Z = f(x, y) имеет в точке М0(х0 у0) максимум (минимум) f(x0 y0), если вблизи этой точки для всех точек М, отличных от М0, выполняется условие f(x, y) < f(x0 y0) (f(x, y ) > f(x0 y0)).
Необходимый признак экстремума функций 2-х переменных: в точке экстремума функции нескольких переменных каждая её частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.
Теперь сформулируем достаточный признак существования экстремума, для этого введем некоторые обозначения.
Пусть
значения вторых частных производных в
критической точке М0
соответственно
равны
.
Тогда, если при этом имеет место неравенство АС – B2 0 , то функция f(x, y ) имеет в точке М0 экстремум: максимум , когда А (или С) отрицательно, минимум – если А (или С) положительно.
Если в критической точке М0 имеет место неравенство АС – B2 0, то функция f(x, y ) не имеет экстремума в точке М0.
План исследования функции на экстремум
(при условии, что она дважды дифференцируема):
1)
Найти частные производные функции
и решить систему уравнений:
Точки, в которых частные производные
равны нулю, называются стационарными
точками. Пусть одна из них
.
2)
Найти частные производные второго
порядка функции
и вычислить их значения в точке
.
Положим
,
,
.
3) Вычислить определитель:
Если
,
то функция
в точке
имеет максимум при
и минимум при
.
Если
,
то функция
в точке
экстремума не имеет.
Если
,
то вопрос об экстремуме остается открытым
и требует дополнительного исследования.
4) Вычислить значение функции в этой точке.
Пример
Найти
экстремум функции
.
Решение:
1) Находим частные производные первого порядка функции :
,
.
Воспользовавшись необходимым условием экстремума, находим стационарные точки:
откуда
,
;
.
2)
Находим частные производные второго
порядка (в данном случае они постоянные):
,
,
.
3)
Вычисляем определитель:
,
.
Следовательно, в точке
заданная функция имеет минимум. Значение
функции в этой точке
.
Пример
Исследовать
на экстремум функцию
.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка
,
Приравняем их к нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Итак, получили 2 критические точки
Проверим выполнение достаточного условия существования экстремума. Для этого найдем вторые частные производные
В точке (0, 0) значения вторых производных соответственно равны:
А = 0 , В= –3 ,С = 0 , тогда AC – B2 = –9 < 0 , следовательно, в точке (0, 0) экстремума нет.
В
точке (1, 1) А
= 6 , В
= –3 , C
= 6 , тогда АС
– B2
= 36 –
9 = 27
0 и в точке (1,1) имеем минимум (т. к. А
и С
положительны),
при этом
.
Схема исследования на наибольшее и наименьшее значения функции