2. Вычисление объемов тел вращения

П усть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , вычисляется по формуле

.

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , вычисляется по формуле

.

Пример

В ычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , вокруг оси Ох.

Решение:

Применим формулу ,

тогда искомый объем равен

(куб.ед.).

3. Длина дуги кривой

Если функция непрерывна вместе с на промежутке , то длина дуги выражается формулой .

§ 4. Интегралы с бесконечными пределами

Интегралы с бесконечными пределами называются несобственными. Несобственный интеграл от непрерывной функции f(x) в пределах от a до + определяется равенством:

. (1)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности, – расходящимся.

Интеграл вида вычисляют по формуле:

Пример

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .

Решение:

Значит, несобственный интеграл сходится.

Пример

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .

Решение:

Значит, несобственный интеграл расходится.

Глава 7. Функции двух переменных

§ 1. Понятие функции двух переменных

Переменная Z называется функцией, зависящей от переменных x и y, если каждой паре значений x и y из области их изменения по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение Z.

Переменные х и у называются независимыми переменными или аргументами , Z – зависимой переменной.

Функциональная зависимость обозначается так: Z = f(x, y).

Областью определения функции Z = f(x, y) называется множество точек (x, y) плоскости xOy , в которых данная функция определена, то есть принимает действительные значения.

Геометрическим изображением функции Z = f(x, y) является некоторая поверхность в пространстве. Частное значение функции f(x, y) при x = x₀, y = y₀ обозначается так: f(x_0, y₀).

Пример

Найти область определения функции

Решение:

Функция существует для тех пар значений х и у, которые удовлетворяют неравенству 9 – x² – y² > 0 , откуда x² + y² < 9.Следовательно, область определения функции есть круг с центром в начале координат и радиусом R = 3 (не включая границу круга, то есть окружность x² + y² = 9).

§ 2. Частные производные первого порядка

Пусть дана функция Z = f(x, y). Рассмотрим отношение частного приращения функции Z по переменной x к приращению этой переменной .

Предел этого отношения при , стремящемся к нулю, если он существует, называется частной производной функции Z = f(x, y) по х и обозначается так: , Следовательно, имеем

Аналогично определяется частная производная от функции Z = f(x, y) по у:

Заметим, что если от функции Z = f(x) берется производная , то у считается постоянным; если же находится , то х считается постоянным.

Пример

Найти частные производные функции .

Решение:

Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х, имеем ;

аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получим

.