2. Определённый интеграл

Определение 1. Пусть – произвольная, непрерывная в каждой точке промежутка функция. Тогда называется определённым интегралом от функции на промежутке .

в ерхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

подынтегральная функция подынтегральное выражение

Для вычисления определенного интеграла от функции служит формула Ньютона-Лейбница:

,

где – любая из первообразных функции .

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) на промежутке , необходимо найти любую первообразную функцию и вычислить разность её значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Некоторые свойства определённого интеграла

Заметим, что при замене переменной в определённом интеграле необходимо изменить пределы интегрирования в соответствии с тем, как производится замена. При этом переход к старой переменной не требуется.

Пример

Вычислить определенные интегралы а) ; б)

Решение:

а) По формуле Ньютона-Лейбница получаем:

б) Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки 3x – 2 = t  3dx = dt  . Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 3x – 2 = t значения и , соответственно, получим и .

Следовательно,

§ 3. Применение определенного интеграла

1. Площадь плоской фигуры

П усть на отрезке задана непрерывная положительная функция (см. рис. 3). Тогда площадь фигуры, ограниченной непрерывной функцией , прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле .

П лощадь криволинейной фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и , причем и , -абсциссы точек пересечения данных кривых (см. рис. 4), вычисляется по формуле

Пример

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой

Решение:

1. Построим на плоскости заданные линии:

А ) Для построения прямой , зададим значения для переменной х и найдем соответствующие ей значения переменной y

	0	1
	–1	0

Следовательно, прямая проходит через точки (0; –1) и (1; 0).

Б) Для построения параболы найдем точки

пересечения ее с осями координат и вершину параболы:

Пересечение с осью , значит , то есть . Решая данное уравнение, получаем и .

Пересечение с осью , значит , то есть , получили точку (0; 1), которая совпала в нашем случае с вершиной параболы.

2) Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями и , пресекающимися в точках с абсциссами и , определяется по формуле

Для нахождения точек пересечения линий решаем систему уравнений и параболой

Приравняем правые части данных уравнений . Перенесем слагаемые из правой части в левую и приведем подобные, получим . Умножим данное уравнение на (–1), получим . Решая данное уравнение, найдем корни и .

Площадь искомой фигуры равна

(кв.ед.).