Можно показать, что если y = F(x) есть первообразная для функции y = f(x), то формулой y = F(x) + С задается совокупность всех первообразных функции y = f(x).
Определение
2. Совокупность
всех первообразных функции y = f(x)
называется неопределённым
интегралом
этой функции и обозначается
.
Здесь С называется произвольной постоянной, функция f(x) – подынтегральной функцией; выражение f(x)dx – подынтегральным выражением.
Отыскание первообразных y = F(x) + С функции y = f(x) называется интегрированием.
Таблица основных интегралов
Интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.
Свойства неопределенного интеграла
Если y = f(x), y = F(x), y = g(x) – некоторые функции, то:
1)
2)
3)
Некоторые методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.
Примеры
1)
Вычислить:
.
Решение:
2) Вычислить: .
Решение:
3) Вычислить: .
Решение:
2. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Часто бывает так, что предлагаемый для вычисления интеграл не содержится в таблице интегралов и не сводится к табличным интегралам. Тогда применяются другие методы интегрирования, одним из которых является метод замены переменной.
Пусть
имеет место неопределенный интеграл
,
где подынтегральная функция непрерывна.
Применив подстановку
и вычислив дифференциал
,
получим
– формулу замены
переменной в неопределённом интеграле.
Сложность применения метода замены переменной заключается в том, что метод не даёт инструкции о том, какую замену требуется применить в том или другом случае для того, чтобы свести данный интеграл к табличному.
Пример
Вычислить
интеграл
.
Решение:
Обозначим
.
Дифференцируя обе части этого выражения,
найдём, чему равно dx,
т.е.
.
Тогда
.
Пример
Вычислить
интеграл
.
Решение:
Выделим
в знаменателе подынтегрального выражения
полный квадрат,
получим
,
тогда
.
Пример
Вычислить
интеграл
.
Решение:
=
=
3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид:
,
где
и
– дифференцируемые функции.
В ряде случаев она позволяет свести предлагаемый для вычисления интеграл к более простому, возможно, к табличному. При этом необходимо знать, что интегралы, вычисляемые данным методом, разделяются на две группы.
I группа
Если
имеем интегралы вида:
,
,
,
,
то за функцию
принимаем
многочлен
,
за
– оставшееся
выражение.
II группа
Если
имеем интегралы вида:
,
,
,
,
то
,
а за функцию
принимаем
оставшуюся функцию
,
,
,
,
.
В частном случае
,
тогда
.
Пример
Вычислить
интеграл
.
Решение:
Так как данный интеграл относится к
группе I,
то имеем в предлагаемом интеграле
;
тогда
,
,
.
Из всей совокупности полученных функций
выберем какую-нибудь одну; пусть,
например, С
= 0. Тогда
.
Пример
Вычислить
интеграл
.
Решение:
Так как данный интеграл относится к
группе II,
то
,
тогда
,
,
.
Из всей совокупности полученных функций
выберем какую-нибудь одну; пусть,
например, С
= 0. Тогда
.
§ 2. Определённый интеграл
1. Задача о площади криволинейной трапеции
Будем
рассматривать непрерывную в каждой
точке промежутка
функцию
такую, что
.
Поставим задачу: вычислить площадь
криволинейной трапеции ABCD
(см. рис. 1). Для этой цели разобьем
произвольно промежуток
на n частей
точками
.
На каждом интервале (xk-1, xk) выберем произвольную точку k и рассмотрим прямоугольники, образуемые интервалами (xk-1, xk) по оси Ох и (0, f(k)) по оси Оу. Фигуру, образованную совокупностью таких прямоугольников, будем называть ступенчатой фигурой.
Обозначим
длину самого большого из промежутков
(xk-1,
xk)
и будем называть её мелкостью разбиения
отрезка
.
Очевидно, что чем меньше
,
тем больше площадь ступенчатой фигуры
близка к площади криволинейной трапеции
ABCD.
А именно:
Отметим,
что суммы, образующиеся в соотношении
(1), называются интегральными суммами.
Пусть
мелкость разбиения
.
Тогда можно показать, что
