Свойства умножения матриц

• (A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;

• (z · A) · B= z · (A · B), где z - число;

• A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;

• E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm - умножение на единичную матрицу;

• A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.

• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =

2   1   -3   0   4   -1

и B =

5   -1   6   -3   0   7

.

Решение:

C = A · B =

2   1   -3   0   4   -1

·

5   -1   6   -3   0   7

=

7   -2   19   -15   3   -18   23   -4   17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c₁₃ = a₁₁·b₁₃ + a₁₂·b₂₃ = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c₂₃ = a₂₁·b₁₃ + a₂₂·b₂₃ = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c₃₁ = a₃₁·b₁₁ + a₃₂·b₂₁ = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c₃₂ = a₃₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c₃₃ = a₃₁·b₁₃ + a₃₂·b₂₃ = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:

Замечание

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Пример

Задание. Найти , если

Решение.

Ответ.

Свойства сложения и вычитания матриц:

1.   Ассоциативность

2.   , где - нулевая матрица соответствующего размера.

3.  

4.   Коммутативность

Разность матриц

Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число.

Вычитание матриц вводится следующим образом:

То есть к матрице прибавляется матрица , умноженная на (-1).

Определение

Разностью матриц и одного и того же размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице матрицы , умноженной на (-1).

На практике же от элементов матрицы попросту отнимают соответствующие элементы матрицы при условии, что заданные матрицы одного размера.

Замечание

Вычитать можно только матрицы одинакового размера.

Пример

Задание. Найти матрицу , если

Решение.

Ответ.