4.4 Теорема о трех силах.

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действуют три силы: , , и тело находится в равновесии (рисунок 4.8)

Рисунок 4.8

Так как силы и лежат в одной плоскости и не параллельны, то их линии действия пересекаются в т.А. Приложим к этой точке силы и и заменим их равнодействующей . Тогда на тело будут действовать две силы и , которые должны быть направлены по одной прямой, т.е. вдоль АВ. Следовательно линия действия силы тоже проходит через т.А, что и требовалась доказать. Обратная теорема не имеет места, следовательно, теорема выражает только необходимое условие равновесия тела под действием трех сил.

Вопросы для самоконтроля

Система сходящихся сил:

1. Какая система сил называется сходящейся?

2. Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся сил при построении силового многоугольника?

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия пространственной сходящейся системы сил.

4. Запишите аналитические условия равновесия пространственной сходящейся системы сил.

5. Сформулируйте геометрические условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

6. Запишите аналитические условия плоской системы сходящихся сил.

7. При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?

8. Каково условие равновесия трех непараллельных сил, приложенных к одному твердому телу?

9. Возможно ли равновесие трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости?

10. Используя теорему о трех силах, укажите линию реакции неподвижного шарнира А (рисунок 4).

Рисунок 4

11. Определить величину и направление равнодействующей системы сил (рисунок 5), если

А

Рисунок 5

12. Для системы сходящихся сил , , определить величину и направление равнодействующей.

Угол между силами , которые приложены в одной точке, равен 120. Определить модуль силы , которая уравновесит заданные силы.

5. Момент силы относительно центра. Пара сил

5.1 Момент силы относительно центра (или точки)

Введем важное понятие о моменте силы относительно точки. Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки – моментом относительно центра.

Если под действием приложенной силы тело может вращаться вокруг некоторой закрепленной точки, то момент силы относительно этой точки будет характеризовать вращательный эффект силы. Вращательное действие силы на тело будет зависеть от модуля силы, расстояния линии действия силы до точки закрепления и от направления вращения в этой плоскости.

Рисунок 5.1

Так, например, если к телу, закрепленному неподвижно в точке О (рисунок 5.1), приложена в точке A₁ сила , то тело будет вращаться вокруг оси OZ₁, перпендикулярно плоскости треугольника OA₁B₁, в направлении, указанном на рисунке. Если к этому же телу приложена сила в точке A₂, то тело будет вращаться вокруг оси OZ₂, перпендикулярно к плоскости треугольника OA₂B₂.

Мерой вращательного действия силы на тело с закрепленной точкой является момент силы относительно точки.

Алгебраическая величина момента силы относительно точки, определяется произведением модуля силы на ее плечо.

Рассмотрим силу F, приложенную в точке А (рисунок 5.3). Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия силы ; длину h этого перпендикуляра называют плечом силы относительно центра О.

Рисунок 5.2

Момент силы относительно центра О определяется:

1) модулем момента, равным произведению F·h;

2) положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскости поворота»), проходящей через центр О и силу ;

3) направлением поворота в этой плоскости.

Из геометрии известно, что положение плоскости в пространстве определяется направлением нормали «n» (перпендикуляра) к этой плоскости. Таким образом, момент силы относительно центра характеризуется не только его числовым значением, но и направлением в пространстве, т.е. является величиной векторной.

Моментом силы F относительно центра О называется приложенный в центре О вектор , модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рисунок 5.3).

Согласно этому определению

(5.1)

Этот результат следует из того, что пл. Δ ОАВ= АВ·h/2=Fh/2. Измеряется момент силы в Ньютон-метрах (Нм). Выведем формулу, для вектора-момента силы относительно точки О. Для этого рассмотрим векторное произведение векторов и (рисунок 5.3). Как известно из векторной алгебры, это будет вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой расположены векторы и , и направленный в такую сторону, чтобы с его конца видеть поворот от к кратчайшим путем против хода часовой стрелки. Модуль этого вектора или .

Поэтому

или , (5.2)

где – радиус-вектор точки А, проведенный из центра О.

Таким образом, вектор-момент силы относительно точки равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

Обозначая алгебраическое значение момента силы относительно точки О через , будет иметь

(5.3)

Из формулы (5.3) следует, момент силы относительно точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю (т.к. h=0).

Пример.

Вычислить моменты сил , относительно точки O.

Решение

Вектор направлен перпендикулярно плоскости OAEN, т.е. по прямой OL. , т.к. линия действия силы проходит через точку O.

Векторы и перпендикулярны к плоскости ОВDN, но направлены в противоположные стороны. Вектор перпендикулярен к плоскости ОАВL и направлен по прямой ON.